Questão 8)
a) Calcule a que profundidade a pressão devida exclusivamente ao peso da coluna d’água é igual à pressão atmosférica.
b) Quantos metros do oceano pesam tanto quanto toda a atmosfera?
c) Considerando a profundidade média do oceano como \sim 350 \mathrm{~m}, pode-se dizer que há quantas vezes mais massas nos oceanos do que na atmosfera?
d) Demonstre que a pressão manométrica é igual a pressão hidrostática.

Passo 1

O enunciado faz quatro perguntas separadas:
a) Calcular a profundidade na qual a pressão causada apenas pelo peso da coluna d’água é igual à pressão atmosférica.
b) Quantos metros de água equivalem em massa (por unidade de área) a toda a atmosfera acima de nós.
c) Usando a profundidade média do oceano dada como \sim 350\\ \mathrm{m}, quantas vezes há mais massa nos oceanos do que na atmosfera (interpreto aqui como razão entre massa por unidade de área do oceano e massa por unidade de área da atmosfera).
d) Demonstrar que a pressão manométrica é igual à pressão hidrostática.
Informações relevantes fornecidas ou que usaremos (não dadas explicitamente no enunciado, então adoto valores padrão):
  • Pressão atmosférica ao nível do mar: \displaystyle p_{\text{atm}} = 1{,}013\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • Densidade da água doce (aproximação para água do mar): \displaystyle \rho = 1000\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}.
  • Aceleração da gravidade: \displaystyle g = 9{,}81\\ \mathrm{m\,s^{-2}}.
  • Profundidade média do oceano (dada no enunciado): \displaystyle h_{\text{oceano}} \approx 350\\ \mathrm{m}.
Não começarei a resolver aqui; apenas listei o que é pedido e os dados que vamos usar.

Passo 2

Entender e deduzir a fórmula da pressão hidrostática (aquela que vem do peso da coluna de fluido) — pequena aula prática e intuitiva.
Considere uma coluna cilíndrica de água com área de base A e altura (profundidade) h. O volume dessa coluna é V = A h. A massa da coluna é
m = \rho V = \rho A h,
onde \rho é a densidade do líquido (explicação: densidade é massa por unidade de volume, \rho=\dfrac{m}{V}, então m=\rho V). O peso dessa massa é
F_{\text{peso}} = m g = \rho A h g,
onde g é a aceleração da gravidade (explicação: peso é massa vezes gravidade). A pressão exercida na base pela coluna é a força por unidade de área:
p = \frac{F_{\text{peso}}}{A} = \frac{\rho A h g}{A} = \rho g h.
Portanto a fórmula da pressão hidrostática é
\boxed{p_{\text{hid}} = \rho g h.}
Aqui cada símbolo significa: \rho densidade do fluido, g aceleração da gravidade, h profundidade medida verticalmente da superfície até o ponto considerado, e p_{\text{hid}} é a pressão adicional causada pelo peso do fluido acima.

Passo 3

Resolver a letra (a) usando a fórmula deduzida.
A condição pedida é “a pressão devida exclusivamente ao peso da coluna d’água é igual à pressão atmosférica”, isto é:
\rho g h = p_{\text{atm}}.
Isolando h,
h = \frac{p_{\text{atm}}}{\rho g}.
Agora substituímos os valores numéricos que adotamos:
h = \frac{1{,}013\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}}{1000\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}\times 9{,}81\\ \mathrm{m\,s^{-2}}}.
Façamos a conta passo a passo: o denominador é 1000\times 9{,}81 = 9810. Então
h = \frac{1{,}013\times 10^{5}}{9810}\\ \mathrm{m} \approx 10{,}33\\ \mathrm{m}.
Interpretação física rápida: cerca de 10 metros de água exercem sobre o fundo a mesma pressão causada pelo ar de toda a atmosfera acima.

Passo 4

Resolver a letra (b) e explicar por que é igual ao resultado da (a).
“Quantos metros do oceano pesam tanto quanto toda a atmosfera?” — aqui é natural comparar massas por unidade de área (colunas sobre a mesma área A). A massa da coluna de água por unidade de área é \rho h (pois massa total \rho A h dividida por A). A massa da coluna atmosférica por unidade de área é a massa que produz a pressão atmosférica: como p_{\text{atm}}=(\text{massa da atmosfera por área})\times gá, temos massa atmosférica por unidade de área igual a p_{\text{atm}}/g.
Igualando massas por área:
\rho h = \frac{p_{\text{atm}}}{g}.
Isolando h dá exatamente a mesma expressão que no Passo 3:
h = \frac{p_{\text{atm}}}{\rho g}.
Logo o número de metros de água que “pesam tanto quanto” a atmosfera é o mesmo calculado na letra (a): aproximadamente 10{,}33\\ \mathrm{m}. (Explicação conceitual: dizer que algo “pesa tanto quanto a atmosfera” é o mesmo que igualar o peso por área, i.e., a pressão gerada por cada coluna.)

Passo 5

Resolver a letra (c): razão entre massas (interpretação: razão entre massa por unidade de área do oceano e da atmosfera).
A massa por unidade de área do oceano é \rho h_{\text{oceano}}. A massa por unidade de área da atmosfera é p_{\text{atm}}/g. A razão é
\text{razão} = \frac{\rho h_{\text{oceano}}}{p_{\text{atm}}/g} = \frac{\rho g h_{\text{oceano}}}{p_{\text{atm}}}.ã
Mas note que \dfrac{p_{\text{atm}}}{\rho g} é justamente a profundidade equivalente h_{\text{atm}} que encontramos na (a). Assim a razão simplifica a uma forma muito simples:
\text{razão} = \frac{h_{\text{oceano}}}{h_{\text{atm}}}.ã
Usando h_{\text{oceano}}=350\\ \mathrm{m} (valor do enunciado) e h_{\text{atm}}\approx 10{,}33\\ \mathrm{m},
\text{razão} \approx \frac{350}{10{,}33} \approx 33{,}9.ã
Interpretação: com a profundidade média dada de 350\\ \mathrm{m}, há cerca de 34 vezes mais massa de água (por unidade de área) no oceano do que há massa de ar na coluna da atmosfera acima dessa mesma área. Observação de ânimo: se o enunciado tivesse usado a profundidade média real dos oceanos (~3500 m), a razão seria ~340 — gigantesco!

Passo 6

Demonstrar a letra (d): mostrar que pressão manométrica = pressão hidrostática.
Primeiro, definição: a pressão manométrica (ou pressão manômetro lê) é a diferença entre a pressão absoluta no interior de um recipiente ou num ponto submerso e a pressão atmosférica externa:
p_{\text{man}} = p_{\text{abs}} - p_{\text{atm}}.
Agora, para um ponto a profundidade h sob a superfície livre de um líquido exposto à atmosfera, a pressão absoluta nesse ponto é a soma da pressão atmosférica (na superfície) mais a pressão causada pelo peso da coluna de líquido (pressão hidrostática). Ou seja,
p_{\text{abs}} = p_{\text{atm}} + \rho g h.
Substituindo na definição de pressão manométrica:
p_{\text{man}} = \bigl(p_{\text{atm}} + \rho g h\bigr) - p_{\text{atm}} = \rho g h.
Portanto
\boxed{p_{\text{man}} = \rho g h = p_{\text{hid}}.}
Derivação alternativa (intuitiva): um manômetro mede só o excesso de pressão em relação à atmosfera; esse excesso é exatamente o peso da coluna de líquido acima do ponto, que foi mostrado no Passo 2 ser \rho g h. Logo, manométrica = hidrostática.

Resposta

a) h=\dfrac{p_{\text{atm}}}{\rho g}\approx 10{,}33\\ \mathrm{m}
b) 10{,}33\\ \mathrm{m}
c) \dfrac{h_{\text{oceano}}}{h_{\text{atm}}} \approx \dfrac{350}{10{,}33}\approx 33{,}9 (≈ 34 vezes)
d) p_{\text{man}}=p_{\text{abs}}-p_{\text{atm}}=\rho g h=p_{\text{hid}}

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