Questão 8)
a) Calcule a que profundidade a pressão devida exclusivamente ao peso da coluna d’água é igual à pressão atmosférica.
b) Quantos metros do oceano pesam tanto quanto toda a atmosfera?
c) Considerando a profundidade média do oceano como
, pode-se dizer que há quantas vezes mais massas nos oceanos do que na atmosfera?
d) Demonstre que a pressão manométrica é igual a pressão hidrostática.
a) Calcule a que profundidade a pressão devida exclusivamente ao peso da coluna d’água é igual à pressão atmosférica.
b) Quantos metros do oceano pesam tanto quanto toda a atmosfera?
c) Considerando a profundidade média do oceano como
d) Demonstre que a pressão manométrica é igual a pressão hidrostática.
Passo 1
O enunciado faz quatro perguntas separadas:
a) Calcular a profundidade na qual a pressão causada apenas pelo peso da coluna d’água é igual à pressão atmosférica.
b) Quantos metros de água equivalem em massa (por unidade de área) a toda a atmosfera acima de nós.
c) Usando a profundidade média do oceano dada como , quantas vezes há mais massa nos oceanos do que na atmosfera (interpreto aqui como razão entre massa por unidade de área do oceano e massa por unidade de área da atmosfera).
d) Demonstrar que a pressão manométrica é igual à pressão hidrostática.
a) Calcular a profundidade na qual a pressão causada apenas pelo peso da coluna d’água é igual à pressão atmosférica.
b) Quantos metros de água equivalem em massa (por unidade de área) a toda a atmosfera acima de nós.
c) Usando a profundidade média do oceano dada como
d) Demonstrar que a pressão manométrica é igual à pressão hidrostática.
Informações relevantes fornecidas ou que usaremos (não dadas explicitamente no enunciado, então adoto valores padrão):
- Pressão atmosférica ao nível do mar:
. - Densidade da água doce (aproximação para água do mar):
. - Aceleração da gravidade:
. - Profundidade média do oceano (dada no enunciado):
.
Não começarei a resolver aqui; apenas listei o que é pedido e os dados que vamos usar.
Passo 2
Entender e deduzir a fórmula da pressão hidrostática (aquela que vem do peso da coluna de fluido) — pequena aula prática e intuitiva.
Considere uma coluna cilíndrica de água com área de base
e altura (profundidade)
. O volume dessa coluna é
. A massa da coluna é
onde
é a densidade do líquido (explicação: densidade é massa por unidade de volume,
, então
). O peso dessa massa é
onde
é a aceleração da gravidade (explicação: peso é massa vezes gravidade). A pressão exercida na base pela coluna é a força por unidade de área:
Portanto a fórmula da pressão hidrostática é
Aqui cada símbolo significa:
densidade do fluido,
aceleração da gravidade,
profundidade medida verticalmente da superfície até o ponto considerado, e
é a pressão adicional causada pelo peso do fluido acima.
Passo 3
Resolver a letra (a) usando a fórmula deduzida.
A condição pedida é “a pressão devida exclusivamente ao peso da coluna d’água é igual à pressão atmosférica”, isto é:
Isolando
,
Agora substituímos os valores numéricos que adotamos:
Façamos a conta passo a passo: o denominador é
. Então
Interpretação física rápida: cerca de
metros de água exercem sobre o fundo a mesma pressão causada pelo ar de toda a atmosfera acima.
Passo 4
Resolver a letra (b) e explicar por que é igual ao resultado da (a).
“Quantos metros do oceano pesam tanto quanto toda a atmosfera?” — aqui é natural comparar massas por unidade de área (colunas sobre a mesma área
). A massa da coluna de água por unidade de área é
(pois massa total
dividida por
). A massa da coluna atmosférica por unidade de área é a massa que produz a pressão atmosférica: como
, temos massa atmosférica por unidade de área igual a
.
Igualando massas por área:
Isolando
dá exatamente a mesma expressão que no Passo 3:
Logo o número de metros de água que “pesam tanto quanto” a atmosfera é o mesmo calculado na letra (a): aproximadamente
. (Explicação conceitual: dizer que algo “pesa tanto quanto a atmosfera” é o mesmo que igualar o peso por área, i.e., a pressão gerada por cada coluna.)
Passo 5
Resolver a letra (c): razão entre massas (interpretação: razão entre massa por unidade de área do oceano e da atmosfera).
A massa por unidade de área do oceano é
. A massa por unidade de área da atmosfera é
. A razão é
Mas note que
é justamente a profundidade equivalente
que encontramos na (a). Assim a razão simplifica a uma forma muito simples:
Usando
(valor do enunciado) e
,
Interpretação: com a profundidade média dada de
, há cerca de
vezes mais massa de água (por unidade de área) no oceano do que há massa de ar na coluna da atmosfera acima dessa mesma área. Observação de ânimo: se o enunciado tivesse usado a profundidade média real dos oceanos (~3500 m), a razão seria ~340 — gigantesco!
Passo 6
Demonstrar a letra (d): mostrar que pressão manométrica = pressão hidrostática.
Primeiro, definição: a pressão manométrica (ou pressão manômetro lê) é a diferença entre a pressão absoluta no interior de um recipiente ou num ponto submerso e a pressão atmosférica externa:
Agora, para um ponto a profundidade
sob a superfície livre de um líquido exposto à atmosfera, a pressão absoluta nesse ponto é a soma da pressão atmosférica (na superfície) mais a pressão causada pelo peso da coluna de líquido (pressão hidrostática). Ou seja,
Substituindo na definição de pressão manométrica:
Portanto
Derivação alternativa (intuitiva): um manômetro mede só o excesso de pressão em relação à atmosfera; esse excesso é exatamente o peso da coluna de líquido acima do ponto, que foi mostrado no Passo 2 ser
. Logo, manométrica = hidrostática.
Resposta
a)
b)
c) (≈
vezes)
d)
b)
c)
d)