Questão 2. Calcule. (PROPRIEDADES)
\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{4^{n+1}}{5^{n}};

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a soma da série infinita \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{4^{n+1}}{5^{n}}.
Esse é um caso de série geométrica, cujo termo geral pode ser escrito como a_{n}=a_{1}r^{\,n-1} e cuja soma converge para \tfrac{a_{1}}{1-r} sempre que \lvert r\rvert<1.

Passo 2

Vamos reescrever o termo geral de modo a identificar claramente a razão r. Note que
\frac{4^{n+1}}{5^{n}} =4\cdot\frac{4^{n}}{5^{n}} =4\Bigl(\frac{4}{5}\Bigr)^{n}.
Logo, a série fica \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}4\Bigl(\tfrac{4}{5}\Bigr)^{n}.

Passo 3

Aqui o primeiro termo (para n=0) é
a_{1}=4\Bigl(\tfrac{4}{5}\Bigr)^{0}=4
e a razão é
r=\frac{4}{5},
que satisfaz \lvert r\rvert<1. Portanto, a soma da série é
S=\frac{a_{1}}{1-r} =\frac{4}{1-\tfrac{4}{5}} =\frac{4}{\tfrac{1}{5}} =20.

Resposta

20

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