Questão 4. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA INTEGRAL)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2 n+1};
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2 n+1};
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge, usando o teste da integral. Esse teste diz que, se definirmos uma função contínua, positiva e decrescente
tal que
, então
e
têm o mesmo comportamento (ambas convergem ou ambas divergem).
Passo 2
Escolhemos
que é contínua, positiva e estritamente decrescente para
. Note que
, exatamente o termo da série.
Passo 3
Vamos avaliar o integral impróprio
Fazendo a substituição
, temos
e quando
,
; quando
,
. Logo,
O integral diverge.
Passo 4
Pelo teste da integral, como
diverge, a série
também diverge.
diverge, a série
também diverge.
Resposta
A série diverge.