Questão 4. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA INTEGRAL)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2 n+1};

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2n+1}
converge ou diverge, usando o teste da integral. Esse teste diz que, se definirmos uma função contínua, positiva e decrescente f(x) tal que f(n)=a_n, então \sum a_n e \int f(x)\,dx têm o mesmo comportamento (ambas convergem ou ambas divergem).

Passo 2

Escolhemos
f(x)=\frac{1}{2x+1},
que é contínua, positiva e estritamente decrescente para x\ge1. Note que f(n)=1/(2n+1), exatamente o termo da série.

Passo 3

Vamos avaliar o integral impróprio
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{2x+1}\,dx.
Fazendo a substituição u=2x+1, temos du=2\,dx e quando x=1, u=3; quando x\to\infty, u\to\infty. Logo,
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{2x+1}\,dx =\frac12\int_{3}^{\infty}\frac{1}{u}\,du =\frac12\Bigl[\ln(u)\Bigr]_{3}^{\infty} =\frac12\bigl(\lim_{u\to\infty}\ln u - \ln 3\bigr) =+\infty.
O integral diverge.

Passo 4

Pelo teste da integral, como \displaystyle\int_{1}^{\infty}f(x)\,dx
diverge, a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}f(n)
também diverge.

Resposta

A série diverge.

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