Questão 2. Calcule. (PROPRIEDADES)
\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{2^{n / 2}}{3^{n}}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a série infinita
\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{2^{n/2}}{3^n}.
O conteúdo aqui é séries geométricas infinitas. Vamos reescrever o termo geral no formato r^n, verificar a convergência |r|<1 e aplicar a fórmula da soma.

Passo 2

Note que
2^{n/2} = \bigl(\sqrt{2}\bigr)^n,
então o termo geral fica
\frac{2^{n/2}}{3^n} = \frac{\bigl(\sqrt{2}\bigr)^n}{3^n} = \Bigl(\frac{\sqrt{2}}{3}\Bigr)^n.
Logo é uma série geométrica com razão \displaystyle r = \frac{\sqrt{2}}{3}.

Passo 3

Verificamos a convergência pela condição |r|<1. Como
\bigl|\tfrac{\sqrt{2}}{3}\bigr| = \tfrac{\sqrt{2}}{3} \approx 0,47 < 1,
a série converge.

Passo 4

Para |r|<1, a soma é
\sum_{n=0}^{\infty} r^n = \frac{1}{1-r}.
Substituindo r = \tfrac{\sqrt{2}}{3},
\sum_{n=0}^{\infty} \Bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{3}\Bigr)^n = \frac{1}{1 - \tfrac{\sqrt{2}}{3}} = \frac{1}{\tfrac{3-\sqrt{2}}{3}} = \frac{3}{3 - \sqrt{2}}.

Passo 5

Racionalizando o denominador:
\frac{3}{3 - \sqrt{2}} \cdot\frac{3 + \sqrt{2}}{3 + \sqrt{2}} = \frac{3\,(3 + \sqrt{2})}{9 - 2} = \frac{3\,(3 + \sqrt{2})}{7} = \frac{9 + 3\sqrt{2}}{7}.

Resposta

\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{2^{n/2}}{3^n} = \frac{3}{3 - \sqrt{2}} = \frac{9 + 3\sqrt{2}}{7}.

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