Questão 2. Calcule. (PROPRIEDADES) \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{2^{n / 2}}{3^{n}}. Passo 1O enunciado pede para calcular a série infinita \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{2^{n/2}}{3^n}. O conteúdo aqui é séries geométricas infinitas. Vamos reescrever o termo geral no formato r^n, verificar a convergência |r|<1 e aplicar a fórmula da soma. Passo 2Note que 2^{n/2} = \bigl(\sqrt{2}\bigr)^n, então o termo geral fica \frac{2^{n/2}}{3^n} = \frac{\bigl(\sqrt{2}\bigr)^n}{3^n} = \Bigl(\frac{\sqrt{2}}{3}\Bigr)^n. Logo é uma série geométrica com razão \displaystyle r = \frac{\sqrt{2}}{3}. Passo 3Verificamos a convergência pela condição |r|<1. Como \bigl|\tfrac{\sqrt{2}}{3}\bigr| = \tfrac{\sqrt{2}}{3} \approx 0,47 < 1, a série converge. Passo 4Para |r|<1, a soma é \sum_{n=0}^{\infty} r^n = \frac{1}{1-r}. Substituindo r = \tfrac{\sqrt{2}}{3}, \sum_{n=0}^{\infty} \Bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{3}\Bigr)^n = \frac{1}{1 - \tfrac{\sqrt{2}}{3}} = \frac{1}{\tfrac{3-\sqrt{2}}{3}} = \frac{3}{3 - \sqrt{2}}. Passo 5Racionalizando o denominador: \frac{3}{3 - \sqrt{2}} \cdot\frac{3 + \sqrt{2}}{3 + \sqrt{2}} = \frac{3\,(3 + \sqrt{2})}{9 - 2} = \frac{3\,(3 + \sqrt{2})}{7} = \frac{9 + 3\sqrt{2}}{7}. Resposta \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{2^{n/2}}{3^n} = \frac{3}{3 - \sqrt{2}} = \frac{9 + 3\sqrt{2}}{7}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionados(10 pontos) Usando coordenadas esféricas, calcule \iiint_{E} \hat{y}^{1} d V onde E é a regiâo situada abaixo do cone z=\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}\right)} e no interior da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 z, z Duas turmas realizaram uma prova com os seguintes resultados: Turma A: Média =75, Desvio padrão =8 Turma B: Média =70, Desvio padrão =6 (a) Calcule o coeficiente de variação para cada turma (b) Interprete os resultados e discuta qual turma teve desempenho mais homogêneo Questão 2. Calcule. (PROPRIEDADES) \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{4^{n+1}}{5^{n}}; Questão 4. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA INTEGRAL) \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2 n+1};