(10 pontos) Usando coordenadas esféricas, calcule
\iiint_{E} \hat{y}^{1} d V
onde E é a regiâo situada abaixo do cone z=\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}\right)} e no interior da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 z, z

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iiint_{E} y\,dV
sendo E a região abaixo do cone z=\sqrt{x^2+y^2} e interior à esfera x^2+y^2+z^2=2z.
O conteúdo é mudança para coordenadas esféricas, onde
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi,
e o elemento de volume é dV=\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 2

Precisamos descrever E em esféricas:
  • O cone z=\sqrt{x^2+y^2} \rho\cos\varphi=\rho\sin\varphi\implies\varphi=\pi/4. “Abaixo do cone” significa \varphi\ge\pi/4.
  • A esfera x^2+y^2+z^2=2z vira \rho^2=2\rho\cos\varphi\implies\rho=2\cos\varphi. Como \rho\ge0, o lado interior é 0\le\rho\le2\cos\varphi.
  • Ângulo \theta varia de 0 a 2\pi.
    Logo
0\le\theta\le2\pi,\quad \pi/4\le\varphi\le\pi/2,\quad 0\le\rho\le2\cos\varphi.

Passo 3

Na integral \iiint_{E}y\,dV substituímos
y=\rho\sin\varphi\sin\theta, \qquad dV=\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Assim o integrando fica
y\,dV =(\rho\sin\varphi\sin\theta)\,(\rho^2\sin\varphi)\,d\rho\,d\varphi\,d\theta =\rho^3\sin^2\varphi\;\sin\theta\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Montando a integral em esféricas:
\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=\pi/4}^{\pi/2}\int_{\rho=0}^{2\cos\varphi} \rho^3\sin^2\varphi\,\sin\theta \,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Note que o fator \sin\theta faz a integral em \theta zero:
\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta=0.
Portanto toda a integral se anula.

Resposta

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