(10 pontos) Usando coordenadas esféricas, calcule
onde E é a regiâo situada abaixo do cone
e no interior da esfera
Passo 1
O enunciado pede para calcular
sendo
a região abaixo do cone
e interior à esfera
.
O conteúdo é mudança para coordenadas esféricas, onde
O conteúdo é mudança para coordenadas esféricas, onde
e o elemento de volume é
.
Passo 2
Precisamos descrever
em esféricas:
- O cone
dá . “Abaixo do cone” significa . - A esfera
vira . Como , o lado interior é . - Ângulo
varia de a .
Logo
Passo 3
Na integral
substituímos
Assim o integrando fica
Passo 4
Montando a integral em esféricas:
Note que o fator
faz a integral em
zero:
Portanto toda a integral se anula.