Questão 1. Calcule as seguinte integrais.
integral 1x^4-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 1x^4-x^2,dx
O conteúdo principal aqui é decomposição em frações parciais de uma função racional. Para isso vamos precisar:
  1. fatorar o denominador;
  2. escrever a forma geral da decomposição;
  3. determinar as constantes por comparação;
  4. integrar cada termo simples resultante.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
x^4-x^2=x^2,(x^2-1)=x^2(x-1)(x+1)
Logo
1x^4-x^2 =1x^2(x-1)(x+1)

Passo 3

Escrevemos a decomposição em frações parciais:
1x^2(x-1)(x+1) =Ax+Bx^2+Cx-1+Dx+1
Multiplicando por x^2(x-1)(x+1) obtemos
1 =A,x,(x-1)(x+1)+B,(x-1)(x+1)+C,x^2(x+1)+D,x^2(x-1)
Agora avaliamos em valores convenientes:
  • Em x=0: 1=Bcdot(-1)(1)=-B, logo B=-1.
  • Em x=1: 1=Ccdot1^2(2)=2C, logo C=tfrac12.
  • Em x=-1: 1=Dcdot1^2(-2)=-2D, logo D=-tfrac12.

Passo 4

Para encontrar A, escolhemos um valor fácil, por exemplo x=2:
1 =Acdot2cdot1cdot3+Bcdot1cdot3+Ccdot4cdot3+Dcdot4cdot1 =6A+3B+12C+4D
Substituindo B=-1, C=tfrac12, D=-tfrac12:
1=6A+3(-1)+12l(tfrac12r)+4l(-tfrac12r) =6A-3+6-2=6A+1
;Rightarrow;6A=0;Rightarrow;A=0

Passo 5

A decomposição fica
1x^4-x^2 =-1x^2+1/2x-1-1/2x+1

Passo 6

Integramos termo a termo:
integral -1x^2,dx =1x, integral 1/2x-1,dx =12lnl|x-1r|, integral -1/2x+1,dx =-12lnl|x+1r|

Resposta

integral 1x^4-x^2,dx =1x +12lnl|x-1r| -12lnl|x+1r| +C
que também pode ser escrito como
1x +12ln!l|x-1x+1r| +C

Exercícios relacionados