Questão 1. Calcule as seguinte integrais.
integral x^2+2 x-1x^3-x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral x^2 + 2x - 1x^3 - x,dx
Isso é uma função racional, e o método aqui é decompor em frações parciais após fatorar o denominador.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
x^3 - x = x,(x^2 - 1) = x,(x - 1),(x + 1)
Logo buscamos constantes A, B e C tais que
x^2 + 2x - 1x,(x - 1),(x + 1) = Ax + Bx - 1 + Cx + 1
Multiplicando ambos os lados por x,(x - 1),(x + 1), vem
x^2 + 2x - 1 = A,(x - 1)(x + 1) + B,x(x + 1) + C,x(x - 1)

Passo 3

Expandindo o lado direito e comparando coeficientes de
Da terceira equação vem , e de segue e .

Passo 4

Reescrevendo a integral com esses valores:
integral x^2 + 2x - 1x^3 - x,dx = integral l(1x + 1x - 1 - 1x + 1r),dx
Cada termo integra em logaritmo:
integral 1x,dx = lnl|xr|, integral 1x - 1,dx = lnl|x - 1r|, integral 1x + 1,dx = lnl|x + 1r|
Portanto,
integral x^2 + 2x - 1x^3 - x,dx = lnl|xr| + lnl|x - 1r| - lnl|x + 1r| + C

Resposta

lnl|xr| + lnl|x - 1r| - lnl|x + 1r| + C.

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