Questão 1: Calcule as seguintes integrais definidas:
\int_{-2}^{0} \frac{v^{2}}{\left(v^{3}-2\right)^{2}} d v

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-2}^{0} \frac{v^{2}}{\bigl(v^{3}-2\bigr)^{2}}\,dv.
O conteúdo aqui é a técnica de substituição em integrais, pois vemos que a derivada de v^3-2 está praticamente aparecendo no numerador.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = v^{3} - 2,
logo
\frac{du}{dv} = 3\,v^{2} \quad\Longrightarrow\quad v^{2}\,dv = \frac{du}{3}.

Passo 3

Quando v=-2, temos u = (-2)^{3}-2 = -8 - 2 = -10.
Quando v=0, temos u = 0^{3}-2 = -2.
Assim a integral vira
\int_{v=-2}^{v=0} \frac{v^{2}}{(v^{3}-2)^{2}}\,dv = \int_{u=-10}^{u=-2} \frac{1}{3}\,\frac{1}{u^{2}}\,du.

Passo 4

Escrevendo a integral em u:
\int_{-10}^{-2} \frac{1}{3}\,u^{-2}\,du = \frac{1}{3}\,\int_{-10}^{-2} u^{-2}\,du.
A primitiva de u^{-2} é -u^{-1}. Logo, uma antiderivada é
\frac{1}{3}\,\bigl(-u^{-1}\bigr) = -\frac{1}{3u}.

Passo 5

Agora avaliamos de u=-10 até u=-2:
\left.-\frac{1}{3u}\right|_{-10}^{-2} = \Bigl(-\frac{1}{3\cdot(-2)}\Bigr) - \Bigl(-\frac{1}{3\cdot(-10)}\Bigr) = \frac{1}{6}-\frac{1}{30} = \frac{5-1}{30} = \frac{4}{30} = \frac{2}{15}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{15}

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