Questão 1: Calcule as seguintes integrais definidas:
\int_{0}^{4}\left|x^{2}-3 x+2\right| d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{4}\bigl|x^{2}-3x+2\bigr|\,dx.
Este é um problema de integrais de valor absoluto: vamos identificar onde a quadrática x^{2}-3x+2 muda de sinal, dividir o intervalo em subintervalos onde ela é positiva ou negativa, e então integrar sem o valor absoluto ajustando o sinal em cada parte.

Passo 2

A função interna é
f(x)=x^{2}-3x+2.
Encontramos suas raízes resolvendo x^{2}-3x+2=0, ou seja,
(x-1)(x-2)=0\quad\Longrightarrow\quad x=1\text{ ou }x=2.
Como o coeficiente de x^{2} é positivo, f(x)\ge0 para x\le1 e para x\ge2, e f(x)\le0 quando 1\le x\le2. Portanto vamos dividir a integral em três partes:
\int_{0}^{1}f(x)\,dx,\quad \int_{1}^{2}-f(x)\,dx,\quad \int_{2}^{4}f(x)\,dx.

Passo 3

Calculamos uma primitiva geral de f(x)=x^{2}-3x+2. Uma antiderivada é
F(x)=\frac{x^{3}}{3}-\frac{3x^{2}}{2}+2x,
pois
F'(x)=x^{2}-3x+2.

Passo 4

Agora avaliamos as duas primeiras parcelas:
  1. \displaystyle \int_{0}^{1}f(x)\,dx = F(1)-F(0).
F(1)=\frac{1}{3}-\frac{3}{2}+2=\frac{1}{3}-\frac{3}{2}+2=\frac{5}{6},\quad F(0)=0,
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\int_{0}^{1}f(x)\,dx=\frac{5}{6}.
  1. \displaystyle \int_{1}^{2}-f(x)\,dx = -\bigl[F(2)-F(1)\bigr].
F(2)=\frac{8}{3}-\frac{3\cdot4}{2}+4=\frac{8}{3}-6+4=\frac{2}{3},\quad F(1)=\frac{5}{6},
F(2)-F(1)=\frac{2}{3}-\frac{5}{6}=-\frac{1}{6} \quad\Longrightarrow\quad \int_{1}^{2}-f(x)\,dx=-\bigl(-\tfrac{1}{6}\bigr)=\frac{1}{6}.
Somando essas duas parte, obtemos
\frac{5}{6}+\frac{1}{6}=1.

Passo 5

Por fim, a terceira parcela: \displaystyle \int_{2}^{4}f(x)\,dx = F(4)-F(2).
F(4)=\frac{64}{3}-\frac{3\cdot16}{2}+8=\frac{64}{3}-24+8=\frac{16}{3},
F(2)=\frac{2}{3},
\int_{2}^{4}f(x)\,dx=\frac{16}{3}-\frac{2}{3}=\frac{14}{3}.
Somando tudo:
1+\frac{14}{3}=\frac{3}{3}+\frac{14}{3}=\frac{17}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{17}{3}

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