Calcular as seguintes integrais utilizando o método de integração:
b) I=\int \sqrt{4-x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I = \int \sqrt{4 - x^{2}}\,dx
usando técnicas de integração. O conteúdo principal aqui é integrar uma raiz do tipo \sqrt{a^{2}-x^{2}}, que costuma ser feito com substituição trigonométrica.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = 2\sin\theta,
pois assim 4 - x^{2} = 4 - 4\sin^{2}\theta = 4\cos^{2}\theta. Também calculamos
dx = 2\cos\theta\,d\theta.

Passo 3

Substituindo em I, temos
\sqrt{4 - x^{2}} = \sqrt{4\cos^{2}\theta} = 2\cos\theta
e
dx = 2\cos\theta\,d\theta,
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I = \int \bigl(2\cos\theta\bigr)\bigl(2\cos\theta\,d\theta\bigr) = 4 \int \cos^{2}\theta\,d\theta.

Passo 4

Usamos a identidade
\cos^{2}\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2},
portanto
I = 4 \int \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}\,d\theta = 2 \int \bigl(1 + \cos(2\theta)\bigr)\,d\theta = 2\theta + \sin(2\theta) + C.

Passo 5

Voltando a variável x:
\theta = \arcsin\!\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr), \qquad \sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta = 2\cdot\frac{x}{2}\cdot\frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{2} = \frac{x\,\sqrt{4 - x^{2}}}{2}.
Assim
I = 2\arcsin\!\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr) + \frac{x\,\sqrt{4 - x^{2}}}{2} + C.

Resposta

I = \frac{x}{2}\,\sqrt{4 - x^{2}} + 2\,\arcsin\!\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr) + C.

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