Questão 1. Calcule as seguintes integrais indefinidas.
integral cos ^3 xsen^4 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral cos^3xsen^4x,dx,
que é uma integral de função racional em termos de sen x e cos x. Vamos usar a identidade pitagórica e a substituição u=sen x.

Passo 2

Usamos a identidade
cos^2x = 1 - sen^2x
para reescrever cos^3x como
cos^3x = cos x,(1-sen^2x)
Isso dá
integral cos^3xsen^4x,dx = integral cos x,(1-sen^2x)sen^4x,dx

Passo 3

Separe em duas frações:
integral cos x,(1-sen^2x)sen^4x,dx = integral cos xsen^4x,dx ;-; integral cos xsen^2x,dx

Passo 4

Faça a substituição
u = sen x, du = cos x,dx
Então as integrais viram
integral u^-4,du ;-; integral u^-2,du

Passo 5

Calcule cada integral em u:
integral u^-4,du = u^-3-3, integral u^-2,du = u^-1-1

Passo 6

Volte para x usando u=sen x:
-13,sen^3x ;+; 1sen x ;+; C
Reescrevendo em termos de cosecante, fica
csc x - 13,csc^3x + C

Resposta

integral cos^3xsen^4x,dx = csc x ;-;13,csc^3x + C

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