Questão 1. Calcule as seguintes integrais indefinidas.
integral sen^2 x cos ^4 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral sen^2x ,cos^4x ,dx
O conteúdo envolve integrais de potências de seno e cosseno, então vamos usar identidades trigonométricas e redução de potências.

Passo 2

Usamos a identidade
sen^2x = 1 - cos^2x,
logo
sen^2x ,cos^4x = (1 - cos^2x),cos^4x = cos^4x - cos^6x
Assim a integral vira
integral sen^2x ,cos^4x ,dx = integral cos^4x ,dx ;-;integral cos^6x ,dx

Passo 3

Calcular integral cos^4x,dx.
Como
cos^4x = (cos^2x)^2 = l(1+cos2x2r)^2 = 14l(1 + 2cos2x + cos^22xr),
e cos^22x=(1+cos4x)/2, temos
cos^4x = 38 + 12cos2x + 18cos4x
Integrando termo a termo:
integral cos^4x,dx = 38x + 12cdotsin2x2 + 18cdotsin4x4 = 38x + 14sin2x + 132sin4x + C1

Passo 4

Calcular integral cos^6x,dx.
Começamos por
cos^6x = (cos^2x)^3 = l(1+cos2x2r)^3 = 18l(1+3cos2x+3cos^22x+cos^32xr)
Usando cos^22x=(1+cos4x)/2 e
cos^32x=cos2xcdotcos^22x e a fórmula de produto para cos2xcos4x, chega-se a
cos^6x = 516 + 1532cos2x + 316cos4x + 132cos6x
Integramos termo a termo:
integral cos^6x,dx = 516x + 1532cdotsin2x2 + 316cdotsin4x4 + 132cdotsin6x6 = 516x + 1564sin2x + 364sin4x + 1192sin6x + C2

Passo 5

Subtraindo as duas integrais:
integral sen^2x,cos^4x,dx = l(tfrac38x + tfrac14sin2x + tfrac132sin4xr) - l(tfrac516x + tfrac1564sin2x + tfrac364sin4x + tfrac1192sin6xr) + C
Reunindo termos semelhantes, obtemos
integral sen^2x,cos^4x,dx = 116x + 164sin2x - 164sin4x - 1192sin6x + C

Resposta

boxed integral sen^2x,cos^4x,dx = 116x + 164sin2x - 164sin4x - 1192sin6x + C

Exercícios relacionados