Questão 1. Calcule as seguintes integrais indefinidas.
integral tg^5 x sec ^4 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral tan^5x,sec^4x,dx
O conteúdo é integração de potências de funções trigonométricas. Vamos usar a substituição que envolve sec x e tan x.

Passo 2

Separe um fator sec xtan x,dx para usar na substituição. Podemos reescrever
tan^5x,sec^4x = l(tan^4xr),sec^3x;l(sec xtan x,dxr)

Passo 3

Use a identidade tan^2x = sec^2x - 1 e faça
u = sec x, du = sec xtan x,dx
Então
tan^4x = (sec^2x - 1)^2 = (u^2-1)^2
e sec^3x = u^3. A integral vira
integral (u^2-1)^2,u^3,du

Passo 4

Expanda o integrando:
(u^2-1)^2,u^3 = (u^4-2u^2+1),u^3 = u^7 - 2u^5 + u^3
Agora integre termo a termo:
integral u^7du = u^88, integral (-2u^5)du = -2u^66 = -u^63, integral u^3du = u^44
Logo o resultado em u é
u^88 ;-;u^63 ;+;u^44 + C

Passo 5

Volte à variável x com u=sec x. Assim a primitiva fica
sec^8x8 ;-;sec^6x3 ;+;sec^4x4 + C

Resposta

sec^8x8 ;-;sec^6x3 ;+;sec^4x4 + C

Exercícios relacionados