Questão 1. Calcule as seguintes integrais indefinidas.
integral x cos ^2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral xcos^2 x ,dx
Aqui vamos usar dois ingredientes principais da técnica de integração:
  1. A identidade trigonométrica de redução de potência
  2. A integração por partes

Passo 2

Aplicamos a identidade de redução de potência
cos^2 x = 1 + cos(2x)2
para reescrever a integral.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
integral xcos^2 x ,dx = integral x ,1+cos(2x)2,dx = 12integral x,dx + 12integral xcos(2x),dx

Passo 4

Calculamos separadamente
I1 = 12integral x,dx = 12cdotx^22 = x^24

Passo 5

Para
I2 = 12integral xcos(2x),dx
usamos integração por partes escolhendo
u = x, dv = cos(2x),dx
Então
du = dx, v = integral cos(2x),dx = sin(2x)2
Logo
integral xcos(2x),dx = xcdotsin(2x)2 - integral sin(2x)2,dx = xsin(2x)2 + cos(2x)4
Multiplicando por tfrac12 para obter I2, vem
I2 = xsin(2x)4 + cos(2x)8

Passo 6

Somando I1 e I2 e incluindo a constante de integração C, temos
integral xcos^2 x,dx = x^24 + xsin(2x)4 + cos(2x)8 + C

Resposta

boxed integral xcos^2 x,dx = x^24 + xsin(2x)4 + cos(2x)8 + C

Exercícios relacionados