Calcule:
f(theta)=(theta-cos theta) sen theta

Passo 1

O enunciado define a função
f(theta) = (theta - costheta),sentheta
e pede para calcular sua derivada f'(theta). Para isso, vamos usar a regra do produto e as derivadas básicas de theta, costheta e sentheta.

Passo 2

Seja
g(theta) = theta - costheta e h(theta) = sentheta
Então
g'(theta) = ddtheta(theta) - ddtheta(costheta) = 1 + sentheta,
h'(theta) = ddtheta(sentheta) = costheta

Passo 3

Pela regra do produto,
f'(theta) = g'(theta),h(theta) + g(theta),h'(theta)
Substituindo g, g', h e h', temos
f'(theta) = l(1 + senthetar),sentheta + (theta - costheta),costheta

Passo 4

Vamos expandir e depois simplificar usando a identidade
sen^2theta - cos^2theta = -cos2theta:
f'(theta) = sentheta + sen^2theta + thetacostheta - cos^2theta = thetacostheta + sentheta + (sen^2theta - cos^2theta) = thetacostheta + sentheta - cos2theta

Resposta

f'(theta) = thetacostheta + sentheta - cos2theta

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