Questão 1. Calcule as seguintes integrais indefinidas utilizando uma técnica de integração adequada:
\int \frac{4 x+1}{x^{2}+4 x-5} dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 4x+1x^2+4x-5,dx
usando uma técnica de integração adequada. Aqui vamos usar frações parciais: primeiro fatoramos o denominador, depois decompondo a função racional em somatório de partes simples e, por fim, integramos cada parcela.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
x^2+4x-5 = (x-1)(x+5)
Propomos a decomposição
4x+1(x-1)(x+5) = Ax-1 + Bx+5

Passo 3

Reunindo num único numerador, temos
4x+1 = A(x+5) + B(x-1) = (A+B),x + (5A - B)
Comparando coeficientes, obtemos o sistema
A + B = 4, 5A - B = 1
Resolvendo, achamos
A = 56, B = 196

Passo 4

Substituindo na integral,
integral 4x+1x^2+4x-5,dx = integral l(5/6x-1 + 19/6x+5r),dx = 56integral dxx-1 + 196integral dxx+5
Integrando cada termo,
56lnl|x-1r| ;+; 196lnl|x+5r| ;+; C

Resposta

integral 4x+1x^2+4x-5,dx = 56lnl|x-1r| + 196lnl|x+5r| + C

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