Questão 1. Calcule as seguintes integrais indefinidas utilizando uma técnica de integração adequada:
\int \operatorname{sen}^{3} x \cos ^{4} x dx

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral sin^3x ,cos^4x ,dx
O conteúdo envolve técnicas de integração de potências ímpares de funções trigonométricas, em particular usar a identidade sin^2x=1-cos^2x e substituição.

Passo 2

Como o expoente de sin é ímpar, isolamos um fator sin x e aplicamos sin^2x=1-cos^2x:
integral sin^3x ,cos^4x ,dx = integral (sin^2x),sin x,cos^4x ,dx = integral (1-cos^2x),sin x,cos^4x ,dx = integral (cos^4x-cos^6x),sin x ,dx

Passo 3

Fazemos a substituição
u=cos x, du=-sin x,dxLongrightarrow sin x,dx=-du
A integral em x passa a ser em u:
integral (cos^4x-cos^6x),sin x,dx = -integral (u^4-u^6),du

Passo 4

Integramos termo a termo em u:
-integral u^4,du + integral u^6,du = -u^55 + u^77 + C

Passo 5

Voltando a x com u=cos x, obtemos
-cos^5x5 + cos^7x7 + C

Resposta

integral sin^3x ,cos^4x ,dx = -cos^5x5 + cos^7x7 + C

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