Questão 6) Calcule as seguintes integrais.
\int \operatorname{sen}^{2}(4 x) \cdot \cos ^{3}(5 x) d x;

Passo 1

O enunciado pede a integral
\int \operatorname{sen}^{2}(4x)\,\cos^{3}(5x)\,dx.
Para resolver vamos usar identidades trigonométricas: a identidade de redução para \operatorname{sen}^{2} e a fórmula de potência para \cos^{3}, transformando tudo em somas de cossenos que são fáceis de integrar.

Passo 2

Aplicamos
\operatorname{sen}^{2}(4x)=\frac{1-\cos(8x)}{2},
e
\cos^{3}(5x)=\cos^{2}(5x)\,\cos(5x) =\frac{1+\cos(10x)}{2}\,\cos(5x) =\frac{1}{4}\bigl(3\cos(5x)+\cos(15x)\bigr),
onde usamos primeiro \cos^{2}a=(1+\cos(2a))/2 e em seguida a identidade
\cos^{3}a=\frac{1}{4}\bigl(3\cos a+\cos(3a)\bigr).

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
\int \operatorname{sen}^{2}(4x)\,\cos^{3}(5x)\,dx =\int \frac{1-\cos(8x)}{2}\cdot\frac{1}{4}\bigl(3\cos(5x)+\cos(15x)\bigr)\,dx =\frac{1}{8}\int\bigl(1-\cos(8x)\bigr)\bigl(3\cos(5x)+\cos(15x)\bigr)\,dx.
Expandindo o produto:
(1-\cos(8x))(3\cos(5x)+\cos(15x)) =3\cos(5x)+\cos(15x) -3\cos(5x)\cos(8x)-\cos(15x)\cos(8x).
Agora usamos as fórmulas de produto para soma, por exemplo
\cos A\cos B =\tfrac12\bigl(\cos(A+B)+\cos(A-B)\bigr),
aplicando a cada termo de produto de cossenos.

Passo 4

Depois de aplicar produto-para-soma, a integral vira soma de termos do tipo \int\cos(kx)\,dx, e sabemos que
\int \cos(kx)\,dx = \frac{1}{k}\operatorname{sen}(kx)+C.
Fazendo todas as contas (detalhes de cada termo), chega-se a
\int \operatorname{sen}^{2}(4x)\,\cos^{3}(5x)\,dx =\frac{3}{40}\operatorname{sen}(5x) +\frac{1}{120}\operatorname{sen}(15x) -\frac{3}{208}\operatorname{sen}(13x) -\frac{1}{16}\operatorname{sen}(3x) -\frac{1}{368}\operatorname{sen}(23x) -\frac{1}{112}\operatorname{sen}(7x) + C.

Resposta

\boxed{ \int \operatorname{sen}^{2}(4x)\,\cos^{3}(5x)\,dx =\frac{3}{40}\operatorname{sen}(5x) +\frac{1}{120}\operatorname{sen}(15x) -\frac{3}{208}\operatorname{sen}(13x) -\frac{1}{16}\operatorname{sen}(3x) -\frac{1}{368}\operatorname{sen}(23x) -\frac{1}{112}\operatorname{sen}(7x) + C. }

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