Questão 1. Calcule as seguintes integrais
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes fornecidas:
- A integral é indefinida (ou seja, deve aparecer uma constante de integração
). - O integrando é a diferença de duas funções racionais simples:
e . - Não há valores numéricos adicionais ou condições; devemos obter uma primitiva (antiderivada) geral.
Passo 2
Vou usar a regra básica de integração para funções da forma
. A fórmula é:
onde
e
são constantes e
é a constante de integração.
Explicando por que isso vale (pequena “aula”): faça a substituição
. Então
, logo
. Substituindo na integral:
Observações importantes: usamos
porque o logaritmo natural exige argumento positivo; o valor absoluto garante que a fórmula funcione para
positivo ou negativo. Sempre que vir uma razão linear na forma
você pode aplicar essa fórmula diretamente.
Passo 3
Aplique a regra à primeira parcela
.
Temos
e
. Usando a fórmula,
Explicando outra visão (útil na prova): pode-se também escrever
. Então
O termo
é apenas uma constante, que será absorvida na constante de integração final. Por isso é equivalente usar
ou
(com ajuste da constante).
Passo 4
Aplique a regra à segunda parcela
.
Primeiro fatoramos a constante:
. Então
Agora use a fórmula com
e
:
Multiplicando pelo
dá
Passo 5
Juntando as duas primitivas (somando as partes e combinando as constantes de integração em uma única constante
), obtemos:
Como explicado no Passo 3, podemos absorver constantes como
em
. Assim uma forma alternativa, equivalente, é
Passo 6
Verificação rápida por derivação (para ganhar confiança): derive
Usando a regra da cadeia:
-
da primeira parte é . -
da segunda parte é .
Somando dá exatamente, que é o integrando original. Portanto a primitiva está correta.