Questão 1. Calcule as seguintes integrais
\int\left(\frac{1}{2 x+4}-\frac{2}{3 x-1}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(\frac{1}{2 x+4}-\frac{2}{3 x-1}\right)dx.
Informações relevantes fornecidas:
  • A integral é indefinida (ou seja, deve aparecer uma constante de integração C).
  • O integrando é a diferença de duas funções racionais simples: \dfrac{1}{2x+4} e \dfrac{2}{3x-1}.
  • Não há valores numéricos adicionais ou condições; devemos obter uma primitiva (antiderivada) geral.

Passo 2

Vou usar a regra básica de integração para funções da forma \dfrac{1}{ax+b}. A fórmula é:
\int \frac{1}{ax+b}\,dx = \frac{1}{a}\ln|ax+b| + C,
onde a e b são constantes e C é a constante de integração.
Explicando por que isso vale (pequena “aula”): faça a substituição u=ax+b. Então du=a\,dx, logo dx=\dfrac{du}{a}. Substituindo na integral:
\int \frac{1}{ax+b}\,dx = \int \frac{1}{u}\cdot\frac{du}{a} = \frac{1}{a}\int \frac{1}{u}\,du = \frac{1}{a}\ln|u|+C = \frac{1}{a}\ln|ax+b|+C.
Observações importantes: usamos \ln|\,\cdot\,| porque o logaritmo natural exige argumento positivo; o valor absoluto garante que a fórmula funcione para ax+b positivo ou negativo. Sempre que vir uma razão linear na forma 1/(ax+b) você pode aplicar essa fórmula diretamente.

Passo 3

Aplique a regra à primeira parcela \dfrac{1}{2x+4}.
Temos a=2 e b=4. Usando a fórmula,
\int \frac{1}{2x+4}\,dx = \frac{1}{2}\ln|2x+4| + C_1.
Explicando outra visão (útil na prova): pode-se também escrever 2x+4=2(x+2). Então
\frac{1}{2}\ln|2x+4| = \frac{1}{2}\ln\big(2|x+2|\big) = \frac{1}{2}\ln 2 + \frac{1}{2}\ln|x+2|.
O termo \dfrac{1}{2}\ln 2 é apenas uma constante, que será absorvida na constante de integração final. Por isso é equivalente usar \dfrac{1}{2}\ln|2x+4| ou \dfrac{1}{2}\ln|x+2| (com ajuste da constante).

Passo 4

Aplique a regra à segunda parcela -\dfrac{2}{3x-1}.
Primeiro fatoramos a constante: -\dfrac{2}{3x-1} = -2\cdot \dfrac{1}{3x-1}. Então
\int -\frac{2}{3x-1}\,dx = -2\int \frac{1}{3x-1}\,dx.
Agora use a fórmula com a=3 e b=-1:
\int \frac{1}{3x-1}\,dx = \frac{1}{3}\ln|3x-1| + C_2.
Multiplicando pelo -2
-2\int \frac{1}{3x-1}\,dx = -2\cdot\frac{1}{3}\ln|3x-1| + \tilde C = -\frac{2}{3}\ln|3x-1| + C'_2.

Passo 5

Juntando as duas primitivas (somando as partes e combinando as constantes de integração em uma única constante C), obtemos:
\int\left(\frac{1}{2 x+4}-\frac{2}{3 x-1}\right)dx = \frac{1}{2}\ln|2x+4| - \frac{2}{3}\ln|3x-1| + C.
Como explicado no Passo 3, podemos absorver constantes como \dfrac{1}{2}\ln 2 em C. Assim uma forma alternativa, equivalente, é
\frac{1}{2}\ln|x+2| - \frac{2}{3}\ln|3x-1| + C.

Passo 6

Verificação rápida por derivação (para ganhar confiança): derive
F(x)=\frac{1}{2}\ln|2x+4| - \frac{2}{3}\ln|3x-1|.
Usando a regra da cadeia:
  • F'(x) da primeira parte é \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{2x+4}=\dfrac{1}{2x+4}.
  • F'(x) da segunda parte é -\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{3x-1}=-\dfrac{2}{3x-1}.
    Somando dá exatamente \dfrac{1}{2x+4}-\dfrac{2}{3x-1}, que é o integrando original. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\ln|2x+4|-\frac{2}{3}\ln|3x-1|+C

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