Questão 1. Calcule as seguintes integrais
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes fornecidas:
A tarefa é encontrar uma primitiva (ou seja, a antiderivada) dessa expressão, mais a constante de integração.
Passo 2
Vamos lembrar uma fórmula muito útil e fácil de aplicar: para constantes
e
com
,
Por que isso vale? Fazendo a substituição
temos
, ou seja
. Então
Aqui
é a variável de integração,
é a constante que multiplica
no denominador,
é o termo constante,
é a substituição temporária e
é a constante de integração.
Passo 3
Vamos aplicar a fórmula à primeira parcela
.
Podemos reescrever , então
Podemos reescrever
Logo
Pela fórmula com
e
(ou diretamente pela substituição
), obtemos
Obs.: também poderíamos aplicar a fórmula direto com
e obter
; as duas formas diferem só por uma constante
, que é absorvida em
.
Passo 4
Agora integramos a segunda parcela
.
Colocando a constante fora da integral:
Colocando a constante fora da integral:
Aplicando a fórmula com
e
(ou usando
com
), obtemos
Multiplicando pelo
:
Passo 5
Somando as primitivas das duas parcelas (e agrupando as constantes em uma única constante
), a primitiva da integranda inteira é
Se quiser, podemos escrever de forma alternativa usando propriedades dos logaritmos:
mas a forma com somas de logaritmos é mais comum em respostas de prova.