Questão 1. Calcule as seguintes integrais
\int\left(\frac{1}{2 x+4}-\frac{2}{3 x-1}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(\frac{1}{2 x+4}-\frac{2}{3 x-1}\right)\,dx.
Informações relevantes fornecidas:
\text{Integrando a função } f(x)=\frac{1}{2 x+4}-\frac{2}{3 x-1}.çã
A tarefa é encontrar uma primitiva (ou seja, a antiderivada) dessa expressão, mais a constante de integração.

Passo 2

Vamos lembrar uma fórmula muito útil e fácil de aplicar: para constantes a e b com a\neq 0,
\int \frac{1}{a x + b}\,dx = \frac{1}{a}\ln\lvert a x + b\rvert + C.
Por que isso vale? Fazendo a substituição u = a x + b temos du = a\,dx, ou seja dx = \dfrac{du}{a}. Então
\int \frac{1}{a x + b}\,dx = \int \frac{1}{u}\cdot\frac{du}{a} = \frac{1}{a}\int\frac{du}{u} = \frac{1}{a}\ln\lvert u\rvert + C = \frac{1}{a}\ln\lvert a x + b\rvert + C.
Aqui x é a variável de integração, a é a constante que multiplica x no denominador, b é o termo constante, u é a substituição temporária e C é a constante de integração.

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula à primeira parcela \dfrac{1}{2x+4}.
Podemos reescrever 2x+4 = 2(x+2), então
\frac{1}{2x+4} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x+2}.
Logo
\int \frac{1}{2x+4}\,dx = \int \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x+2}\,dx = \frac{1}{2}\int\frac{1}{x+2}\,dx.
Pela fórmula com a=1 e b=2 (ou diretamente pela substituição u=x+2), obtemos
\int \frac{1}{2x+4}\,dx = \frac{1}{2}\ln\lvert x+2\rvert + C_1.
Obs.: também poderíamos aplicar a fórmula direto com a=2,b=4 e obter \dfrac{1}{2}\ln\lvert 2x+4\rvert; as duas formas diferem só por uma constante \ln 2, que é absorvida em C_1.

Passo 4

Agora integramos a segunda parcela -\dfrac{2}{3x-1}.
Colocando a constante fora da integral:
\int -\frac{2}{3x-1}\,dx = -2\int\frac{1}{3x-1}\,dx.
Aplicando a fórmula com a=3 e b=-1 (ou usando u=3x-1 com du=3\,dx), obtemos
\int\frac{1}{3x-1}\,dx = \frac{1}{3}\ln\lvert 3x-1\rvert + C_2.
Multiplicando pelo -2:
-2\int\frac{1}{3x-1}\,dx = -2\cdot\frac{1}{3}\ln\lvert 3x-1\rvert + \text{const} = -\frac{2}{3}\ln\lvert 3x-1\rvert + C_3.

Passo 5

Somando as primitivas das duas parcelas (e agrupando as constantes em uma única constante C), a primitiva da integranda inteira é
\frac{1}{2}\ln\lvert x+2\rvert - \frac{2}{3}\ln\lvert 3x-1\rvert + C.
Se quiser, podemos escrever de forma alternativa usando propriedades dos logaritmos:
\ln\!\left(\frac{\lvert x+2\rvert^{1/2}}{\lvert 3x-1\rvert^{2/3}}\right) + C,
mas a forma com somas de logaritmos é mais comum em respostas de prova.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\ln\lvert x+2\rvert-\frac{2}{3}\ln\lvert 3x-1\rvert+C

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