Questão 2. Calcule as seguintes integrais. \int_{0}^{+\infty} \operatorname{sen}(x) e^{-a x} d x \quad (Considere a>0. Lembre-se que \int_{0}^{+\infty} f(x) d x:=\lim _{t \rightarrow+\infty} \int_{0}^{t} f(x) d x.)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
Informações relevantes que temos: a função integranda é \operatorname{sen}(x)\,e^{-a x} e o parâmetro a é positivo. Não há outras informações adicionais.
Passo 2
Verificamos primeiro se a integral converge (importante na prova!). Uma maneira simples é usar comparação absoluta: para todo x\ge0 vale |\operatorname{sen}(x)|\le1, logo
Pelo teste de comparação, \operatorname{sen}(x)\,e^{-a x} é absolutamente integrável em [0,\infty). Portanto a integral impropria converge e podemos proceder a calcular seu valor.
Passo 3
Vamos usar a técnica de integração por partes, que é uma ferramenta básica e muito útil. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde u e v são funções diferenciáveis e dv é uma diferencial tal que v=\int dv. Aqui cada símbolo significa:
u é uma função que escolhemos para derivar (du será sua derivada vezes dx);
dv é a parte que integramos para obter v.
No nosso caso definimos a integral que queremos como
I:=\int_{0}^{+\infty} e^{-a x}\sin x\,dx.
Escolha natural (simples e útil) para a primeira integração por partes:
O termo de fronteira tende a zero porque |e^{-a x}\sin x|\le e^{-a x} e e^{-a x}\to0 quando x\to\infty; em x=0 o termo vale zero também (\sin0=0). Assim o termo de fronteira é 0, e definindo
J:=\int_{0}^{\infty} e^{-a x}\cos x\,dx
ficamos com a relação simples
I=\frac{1}{a}J.
Passo 5
Agora calculamos J por integração por partes também. Escolhemos
Esse é o valor da integral. Uma forma rápida de conferir (fora da prova) é lembrar que a transformada de Laplace de \sin x é 1/(s^{2}+1), e ao pôr s=a obtemos o mesmo resultado.