Questão 2. Calcule as seguintes integrais.
\int_{0}^{+\infty} \operatorname{sen}(x) e^{-a x} d x \quad (Considere a>0. Lembre-se que \int_{0}^{+\infty} f(x) d x:=\lim _{t \rightarrow+\infty} \int_{0}^{t} f(x) d x.)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{0}^{+\infty} \operatorname{sen}(x)\,e^{-a x}\,dx
com a condição dada a>0. Lembrete: a integral imprópria significa que devemos interpretar
\int_{0}^{+\infty} \operatorname{sen}(x)\,e^{-a x}\,dx := \lim_{t\to+\infty}\int_{0}^{t} \operatorname{sen}(x)\,e^{-a x}\,dx.
Informações relevantes que temos: a função integranda é \operatorname{sen}(x)\,e^{-a x} e o parâmetro a é positivo. Não há outras informações adicionais.

Passo 2

Verificamos primeiro se a integral converge (importante na prova!). Uma maneira simples é usar comparação absoluta: para todo x\ge0 vale |\operatorname{sen}(x)|\le1, logo
\left|\operatorname{sen}(x)\,e^{-a x}\right|\le e^{-a x}.
Como a>0, sabemos que
\int_{0}^{+\infty} e^{-a x}\,dx=\left[-\frac{1}{a}e^{-a x}\right]_{0}^{+\infty}=\frac{1}{a}<+\infty.
Pelo teste de comparação, \operatorname{sen}(x)\,e^{-a x} é absolutamente integrável em [0,\infty). Portanto a integral impropria converge e podemos proceder a calcular seu valor.

Passo 3

Vamos usar a técnica de integração por partes, que é uma ferramenta básica e muito útil. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde u e v são funções diferenciáveis e dv é uma diferencial tal que v=\int dv. Aqui cada símbolo significa:
  • u é uma função que escolhemos para derivar ( du será sua derivada vezes dx);
  • dv é a parte que integramos para obter v.
No nosso caso definimos a integral que queremos como
I:=\int_{0}^{+\infty} e^{-a x}\sin x\,dx.
Escolha natural (simples e útil) para a primeira integração por partes:
u=\sin x,\qquad dv=e^{-a x}dx.
Então
du=\cos x\,dx,\qquad v=\int e^{-a x}dx=-\frac{1}{a}e^{-a x}.

Passo 4

Aplicando integração por partes em \int_{0}^{t} e^{-a x}\sin x\,dx e depois tomando t\to\infty, obtemos
I=\lim_{t\to\infty}\left[uv\right]_{0}^{t}-\lim_{t\to\infty}\int_{0}^{t} v\,du.
Substituindo u,v,du:
I=\lim_{t\to\infty}\left[-\frac{1}{a}e^{-a x}\sin x\right]_{0}^{t}+\frac{1}{a}\int_{0}^{\infty} e^{-a x}\cos x\,dx.
O termo de fronteira tende a zero porque |e^{-a x}\sin x|\le e^{-a x} e e^{-a x}\to0 quando x\to\infty; em x=0 o termo vale zero também ( \sin0=0). Assim o termo de fronteira é 0, e definindo
J:=\int_{0}^{\infty} e^{-a x}\cos x\,dx
ficamos com a relação simples
I=\frac{1}{a}J.

Passo 5

Agora calculamos J por integração por partes também. Escolhemos
u=\cos x,\qquad dv=e^{-a x}dx,
então
du=-\sin x\,dx,\qquad v=-\frac{1}{a}e^{-a x}.
Aplicando a fórmula:
J=\lim_{t\to\infty}\left[-\frac{1}{a}e^{-a x}\cos x\right]_{0}^{t}-\lim_{t\to\infty}\int_{0}^{t} v\,du.
O termo de fronteira é -\frac{1}{a}(0-1)=\frac{1}{a} (pois \cos0=1 e o termo no infinito é zero por e^{-a x}\to0). Para o segundo termo, note que
\int_{0}^{\infty} v\,du=\int_{0}^{\infty}\left(-\frac{1}{a}e^{-a x}\right)(-\sin x)\,dx=\frac{1}{a}\int_{0}^{\infty} e^{-a x}\sin x\,dx=\frac{1}{a}I.
Portanto obtemos a relação
J=\frac{1}{a}-\frac{1}{a}I.

Passo 6

Agora usamos as duas relações entre I e J:
I=\frac{1}{a}J
e
J=\frac{1}{a}-\frac{1}{a}I.
Substituímos J da segunda na primeira:
I=\frac{1}{a}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{a}I\right)=\frac{1}{a^{2}}-\frac{1}{a^{2}}I.
Isolando I:
I+\frac{1}{a^{2}}I=\frac{1}{a^{2}}\quad\Rightarrow\quad I\left(1+\frac{1}{a^{2}}\right)=\frac{1}{a^{2}}.
Logo
I=\frac{\frac{1}{a^{2}}}{1+\frac{1}{a^{2}}}=\frac{1}{a^{2}+1}.
Esse é o valor da integral. Uma forma rápida de conferir (fora da prova) é lembrar que a transformada de Laplace de \sin x é 1/(s^{2}+1), e ao pôr s=a obtemos o mesmo resultado.

Resposta

\dfrac{1}{a^{2}+1}

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