Expresse a integral como limite de somas e calcule
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) expressar a integral como limite de somas (isto é, como uma soma de Riemann) e (2) calcular o valor da integral. A integral dada é
Informações relevantes: o intervalo de integração é
e a função a integrar é
. Nada mais é fornecido.
Passo 2
Vamos lembrar o que é uma soma de Riemann (explicação didática). Dividimos o intervalo
em
subintervalos de mesma largura
. A largura é
Escolhemos um ponto de amostragem
em cada subintervalo e fazemos a soma
A definição da integral de Riemann diz que, se
for integrável, então a integral é o limite dessa soma quando
:
Comentário prático: podemos escolher pontos à direita, à esquerda ou pontos médios; todos dão o mesmo limite para funções integráveis. Aqui usaremos pontos à direita por simplicidade.
Passo 3
Aplique isso ao nosso caso com
e
. Logo
Se escolhermos pontos à direita, o
-ésimo ponto é
Substituindo
na soma de Riemann, obtemos
Portanto a integral expressa como limite de somas é
Passo 4
Agora vamos calcular a integral. Em prova é muito comum usar a antiderivada (o Teorema Fundamental do Cálculo). Precisamos lembrar a primitiva de
. Observação simples: a derivada de
é
Logo, uma primitiva de
é
, porque derivando
volta
. No nosso caso
, então uma primitiva de
é
Passo 5
Usando o Teorema Fundamental do Cálculo, avaliamos a primitiva nos extremos:
Simplificando
e
, obtemos
Observação importante: o argumento
está em radianos (como é padrão em cálculo).