Expresse a integral como limite de somas e calcule
\quad \int_{0}^{7} \sin (5 x) d x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) expressar a integral como limite de somas (isto é, como uma soma de Riemann) e (2) calcular o valor da integral. A integral dada é
\int_{0}^{7} \sin(5x)\,dx.
Informações relevantes: o intervalo de integração é [0,7] e a função a integrar é f(x)=\sin(5x). Nada mais é fornecido.

Passo 2

Vamos lembrar o que é uma soma de Riemann (explicação didática). Dividimos o intervalo [a,b] em n subintervalos de mesma largura \Delta x. A largura é
\Delta x=\frac{b-a}{n}.
Escolhemos um ponto de amostragem x_i^* em cada subintervalo e fazemos a soma
S_n=\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x.
A definição da integral de Riemann diz que, se f for integrável, então a integral é o limite dessa soma quando n\to\infty:
\int_{a}^{b} f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty} S_n.
Comentário prático: podemos escolher pontos à direita, à esquerda ou pontos médios; todos dão o mesmo limite para funções integráveis. Aqui usaremos pontos à direita por simplicidade.

Passo 3

Aplique isso ao nosso caso com a=0 e b=7. Logo
\Delta x=\frac{7-0}{n}=\frac{7}{n}.
Se escolhermos pontos à direita, o i-ésimo ponto é
x_i=\;0+i\Delta x=\frac{7i}{n}\qquad\text{para }i=1,2,\dots,n.
Substituindo f(x)=\sin(5x) na soma de Riemann, obtemos
S_n=\sum_{i=1}^{n}\sin\!\bigl(5x_i\bigr)\,\Delta x =\sum_{i=1}^{n}\sin\!\left(5\cdot\frac{7i}{n}\right)\cdot\frac{7}{n}.
Portanto a integral expressa como limite de somas é
\int_{0}^{7}\sin(5x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\frac{7}{n}\sum_{i=1}^{n}\sin\!\left(\frac{35i}{n}\right).

Passo 4

Agora vamos calcular a integral. Em prova é muito comum usar a antiderivada (o Teorema Fundamental do Cálculo). Precisamos lembrar a primitiva de \sin(kx). Observação simples: a derivada de \cos(kx) é
\frac{d}{dx}\cos(kx)=-k\sin(kx).
Logo, uma primitiva de \sin(kx) é -\dfrac{1}{k}\cos(kx), porque derivando -\dfrac{1}{k}\cos(kx) volta \sin(kx). No nosso caso k=5, então uma primitiva de \sin(5x) é
F(x)=-\frac{1}{5}\cos(5x).

Passo 5

Usando o Teorema Fundamental do Cálculo, avaliamos a primitiva nos extremos:
\int_{0}^{7}\sin(5x)\,dx=\left[-\frac{1}{5}\cos(5x)\right]_{0}^{7} =-\frac{1}{5}\bigl(\cos(5\cdot 7)-\cos(5\cdot 0)\bigr).
Simplificando 5\cdot 7=35 e \cos(0)=1, obtemos
\int_{0}^{7}\sin(5x)\,dx=-\frac{1}{5}\bigl(\cos(35)-1\bigr)=\frac{1-\cos(35)}{5}.
Observação importante: o argumento 35 está em radianos (como é padrão em cálculo).

Resposta

\int_{0}^{7}\sin(5x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\frac{7}{n}\sum_{i=1}^{n}\sin\!\left(\frac{35i}{n}\right)
\int_{0}^{7}\sin(5x)\,dx=\frac{1-\cos(35)}{5}

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