Questão 2. Calcule as seguintes integrais.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: integrando é
. Queremos uma primitiva (ou antiderivada) dessa função, isto é, uma função
cuja derivada seja
. Não há outras restrições no enunciado.
Passo 2
Observação do integrando: podemos escrever
como
. Note também que a parte dentro do cosseno é
. Isso costuma indicar que uma mudança de variável que envolva
pode simplificar as coisas. Vamos fazer a substituição
Agora calculamos
. Diferenciando, obtemos
logo
Também temos
. Portanto podemos reescrever
como
Passo 3
Substituindo na integral original, obtemos
Agora o problema virou calcular
, que é uma integral de um produto envolvendo uma função polinomial e uma função trigonométrica.
Passo 4
Para
vamos usar a técnica de integração por partes. A fórmula de integração por partes é
onde escolhemos funções
e
de modo conveniente. Aqui escolhemos
Então
pois
. Aplicando a fórmula:
Agora calculamos
. Sabemos que a primitiva de
é
, porque
. Logo
onde
é constante de integração.
Passo 5
Voltando à nossa integral original, lembrando do fator
da substituição:
Substituímos
de volta:
Passo 6
Verificação rápida (útil na prova): derivando a primitiva encontrada devemos recuperar o integrando. Derivando
usando regra do produto e cadeia:
Simplificando os termos:
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.