Questão 2. Calcule as seguintes integrais.
\int x^{3} \cos \left(x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x^{3}\cos\!\left(x^{2}\right)\,dx.
Informações dadas: integrando é x^{3}\cos(x^{2}). Queremos uma primitiva (ou antiderivada) dessa função, isto é, uma função F(x) cuja derivada seja F'(x)=x^{3}\cos(x^{2}). Não há outras restrições no enunciado.

Passo 2

Observação do integrando: podemos escrever x^{3} como x^{2}\cdot x. Note também que a parte dentro do cosseno é x^{2}. Isso costuma indicar que uma mudança de variável que envolva x^{2} pode simplificar as coisas. Vamos fazer a substituição
u = x^{2}.
Agora calculamos du. Diferenciando, obtemos
du = 2x\,dx,
logo
x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Também temos x^{2}=u. Portanto podemos reescrever x^{3}\,dx como
x^{3}\,dx = x^{2}\cdot x\,dx = u\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\,u\,du.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
\int x^{3}\cos\!\left(x^{2}\right)\,dx = \frac{1}{2}\int u\cos u\,du.
Agora o problema virou calcular \int u\cos u\,du, que é uma integral de um produto envolvendo uma função polinomial e uma função trigonométrica.

Passo 4

Para \int u\cos u\,du vamos usar a técnica de integração por partes. A fórmula de integração por partes é
\int a\,db = a b - \int b\,da,
onde escolhemos funções a e b de modo conveniente. Aqui escolhemos
a = u\quad\text{e}\quad db = \cos u\,du.
Então
da = du\quad\text{e}\quad b = \sin u,
pois \frac{d}{du}\sin u = \cos u. Aplicando a fórmula:
\int u\cos u\,du = u\sin u - \int \sin u\,du.
Agora calculamos \int \sin u\,du. Sabemos que a primitiva de \sin u é -\cos u, porque \frac{d}{du}(-\cos u)=\sin u. Logo
\int u\cos u\,du = u\sin u - (-\cos u) = u\sin u + \cos u + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Voltando à nossa integral original, lembrando do fator \tfrac{1}{2} da substituição:
\int x^{3}\cos\!\left(x^{2}\right)\,dx = \frac{1}{2}\bigl(u\sin u + \cos u\bigr) + C.
Substituímos u = x^{2} de volta:
\int x^{3}\cos\!\left(x^{2}\right)\,dx = \frac{1}{2}\bigl(x^{2}\sin(x^{2}) + \cos(x^{2})\bigr) + C.

Passo 6

Verificação rápida (útil na prova): derivando a primitiva encontrada devemos recuperar o integrando. Derivando
F(x)=\frac{1}{2}x^{2}\sin(x^{2})+\frac{1}{2}\cos(x^{2}),
usando regra do produto e cadeia:
F'(x)=\frac{1}{2}\bigl(2x\sin(x^{2}) + x^{2}\cdot\cos(x^{2})\cdot 2x\bigr)+\frac{1}{2}\bigl(-\sin(x^{2})\cdot 2x\bigr).
Simplificando os termos:
F'(x)=x\sin(x^{2}) + x^{3}\cos(x^{2}) - x\sin(x^{2}) = x^{3}\cos(x^{2}),
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\frac{1}{2}\bigl(x^{2}\sin(x^{2})+\cos(x^{2})\bigr)+C

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