A distância percorrida por um carro em função do tempo é descrita por
d(t)=100 \ln (1+t), \quad t \geq 0
onde d está em quilômetros e t em horas.
Encontre a taxa média de variação da distância no intervalo 0 \leq t \leq 3.

Passo 1

O enunciado dá a função distância
d(t)=100\ln(1+t),\quad t\ge 0,
onde d está em quilômetros e t em horas. A pergunta é: encontre a taxa média de variação da distância no intervalo de tempo de t=0 até t=3 horas.

Passo 2

Definição (fórmula) do que é taxa média de variação: para uma função f num intervalo [a,b], a taxa média de variação é
\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.
Isso é a inclinação da reta secante que liga os pontos (a,f(a)) e (b,f(b)). Aqui f é d, a=0 e b=3. A unidade dessa taxa será \text{km/h} porque temos variação de distância (km) dividida por variação de tempo (h).

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso:
\text{taxa média}=\frac{d(3)-d(0)}{3-0}.é
Agora calculamos d(3) e d(0).
d(3)=100\ln(1+3)=100\ln 4,
d(0)=100\ln(1)=100\cdot 0=0,
porque \ln 1=0. Portanto o numerador fica 100\ln 4-0=100\ln 4.

Passo 4

Substituindo e simplificando:
\text{taxa média}=\frac{100\ln 4}{3}=\frac{100}{3}\ln 4\quad\text{km/h}.é
Essa é a forma exata da taxa média de variação.

Passo 5

Avaliação numérica (aproximação): sabemos que \ln 4\approx 1{,}3862943611. Então
100\ln 4\approx 100\cdot 1{,}3862943611\approx 138{,}62943611,
e dividindo por 3:
\frac{100\ln 4}{3}\approx 46{,}209812037\\ \text{km/h}.
Arredondando a duas casas decimais fica aproximadamente 46{,}21\\ \text{km/h}.

Passo 6

Interpretação rápida: isso significa que, em média, entre t=0 e t=3 horas o carro percorreu a uma velocidade média de cerca de 46{,}21\\ \text{km/h}. Lembre-se que é uma média no intervalo, não a velocidade instantânea em algum instante.

Resposta

\dfrac{100}{3}\ln 4\\ \text{km/h}
\approx 46{,}21\\ \text{km/h}

Exercícios relacionados