Questão 2. Calcule as seguintes integrais.
\int x^{2} e^{4 x} d x.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral indefinida
\int x^{2}e^{4x}\,dx.
O conteúdo principal é o método de integração por partes, que se baseia na fórmula
\int u\,dv = uv - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos
u = x^{2},\quad dv = e^{4x}\,dx.
Dessa forma
du = 2x\,dx,\quad v = \int e^{4x}\,dx = \frac{e^{4x}}{4}.

Passo 3

Aplicando a fórmula de partes:
\int x^{2}e^{4x}\,dx = u\,v - \int v\,du = \frac{x^{2}e^{4x}}{4} - \int \frac{e^{4x}}{4}\cdot 2x\,dx = \frac{x^{2}e^{4x}}{4} - \frac{1}{2}\int x\,e^{4x}\,dx.

Passo 4

Agora calculamos \displaystyle \int x\,e^{4x}\,dx por partes novamente, com
u = x,\quad dv = e^{4x}\,dx\;\;\Longrightarrow\;\;du = dx,\quad v = \frac{e^{4x}}{4}.
Logo
\int x\,e^{4x}\,dx = u\,v - \int v\,du = \frac{x\,e^{4x}}{4} - \int \frac{e^{4x}}{4}\,dx = \frac{x\,e^{4x}}{4} - \frac{e^{4x}}{16}.

Passo 5

Substituindo esse resultado em
\displaystyle \int x^{2}e^{4x}\,dx = \frac{x^{2}e^{4x}}{4} - \frac{1}{2}\int x\,e^{4x}\,dx,
temos
\int x^{2}e^{4x}\,dx = \frac{x^{2}e^{4x}}{4} - \frac{1}{2}\Bigl(\frac{x\,e^{4x}}{4} - \frac{e^{4x}}{16}\Bigr) = \frac{x^{2}e^{4x}}{4} - \frac{x\,e^{4x}}{8} + \frac{e^{4x}}{32} + C.

Resposta

\boxed{\int x^{2}e^{4x}\,dx = \frac{e^{4x}}{32}\bigl(8x^{2} - 4x + 1\bigr) + C.}

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