Esboce o gráfico de uma função que satisfaça a todas as condições dadas.
(b) f^{\prime}(x)<0 e f^{\prime \prime}(x)>0 para todo x

Passo 1

O enunciado pede um esboço de uma função que seja estritamente decrescente e concava para cima em todo o domínio, ou seja, que satisfaça
f'(x)<0
e
f''(x)>0
para todo x. O conteúdo aqui é o uso do sinal da primeira derivada para monotonicidade e do sinal da segunda derivada para concavidade.

Passo 2

Uma escolha simples que já garante essas desigualdades em todo x é
f(x)=e^{-x}.

Passo 3

Calculamos as derivadas para verificar as condições:
f'(x)=\frac{d}{dx}e^{-x}=-e^{-x}<0,
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(-e^{-x}\bigr)=e^{-x}>0.
Portanto, f'(x)<0 e f''(x)>0 para todo x.

Passo 4

Com essas propriedades, o gráfico de f(x)=e^{-x} tem as seguintes características:
– É decrescente: conforme x aumenta, f(x) cai continuamente.
– É concavo para cima: a curvatura fica “aberta” para cima, nunca para baixo.
– Tem assíntote horizontal em y=0 quando x\to+\infty e cresce sem limite quando x\to-\infty.

Resposta

Um esboço adequado é o gráfico de
f(x)=e^{-x},
que descreve uma curva sempre decrescente e concava para cima, tendendo a +\infty quando x\to-\infty e a 0 quando x\to+\infty.

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