Esboce o gráfico de uma função que satisfaça a todas as condições dadas.
(b)
e
para todo
(b)
Passo 1
O enunciado pede um esboço de uma função que seja estritamente decrescente e concava para cima em todo o domínio, ou seja, que satisfaça
e
para todo
. O conteúdo aqui é o uso do sinal da primeira derivada para monotonicidade e do sinal da segunda derivada para concavidade.
Passo 2
Uma escolha simples que já garante essas desigualdades em todo
é
Passo 3
Calculamos as derivadas para verificar as condições:
Portanto,
e
para todo
.
Passo 4
Com essas propriedades, o gráfico de
tem as seguintes características:
– É decrescente: conforme aumenta,
cai continuamente.
– É concavo para cima: a curvatura fica “aberta” para cima, nunca para baixo.
– Tem assíntote horizontal em quando
e cresce sem limite quando
.
– É decrescente: conforme
– É concavo para cima: a curvatura fica “aberta” para cima, nunca para baixo.
– Tem assíntote horizontal em
Resposta
Um esboço adequado é o gráfico de
que descreve uma curva sempre decrescente e concava para cima, tendendo a
quando
e a
quando
.