Questão 3 (1 ponto). Esboce a área da região limitada por y=x^{3} e y=x. Calcule o volume do sólido de revolução dessa região.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região limitada pelas curvas y = x^3 e y = x e, em seguida, calcular o volume do sólido obtido pela rotação dessa região em torno do eixo x. Vamos usar o método de discos (anéis), que exige: 1) determinar as interseções, 2) identificar qual função está mais distante do eixo em cada intervalo, e 3) montar e calcular o integral de volume.

Passo 2

Encontramos os pontos de interseção resolvendo
x^3 = x \quad\Longrightarrow\quad x^3 - x = x(x-1)(x+1) = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = -1,\,0,\,1.
Portanto a região está restrita a x\in[-1,1].

Passo 3

Ao esboçar, nota-se:
  • Para x\in[-1,0]: ambas as curvas estão abaixo do eixo x, e x^3 > x (isto é, \lvert x^3\rvert < \lvert x\rvert).
  • Para x\in[0,1]: ambas estão acima do eixo, e x > x^3.
    Em todos os casos, ao girar em torno do eixo x, o raio externo é
R_{\rm ext} = |\,\text{função de maior módulo}\,| = |x|,çãó
e o raio interno é
R_{\rm int} = |\,\text{função de menor módulo}\,| = |x^3|.çãó

Passo 4

Pelo método de anéis, o volume é
V = \pi \int_{-1}^{1} \bigl(R_{\rm ext}^2 - R_{\rm int}^2\bigr)\,dx = \pi \int_{-1}^{1} \bigl(x^2 - x^6\bigr)\,dx.

Passo 5

A função x^2 - x^6 é par, então
V = 2\pi \int_{0}^{1} \bigl(x^2 - x^6\bigr)\,dx = 2\pi \Bigl[\frac{x^3}{3} - \frac{x^7}{7}\Bigr]_{0}^{1} = 2\pi\Bigl(\frac{1}{3} - \frac{1}{7}\Bigr) = \frac{8\pi}{21}.

Resposta

\displaystyle \frac{8\pi}{21}

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