Questão 1. Calcule as seguintes integrais
\int_{1}^{2} 2 x^{2} \sqrt{3 x^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{2} 2 x^{2} \sqrt{3 x^{3}}\, dx.
Informações dadas:
\text{integrando: }2 x^{2} \sqrt{3 x^{3}},\qquad \text{intervalo de integração: }x\in[1,2].çã

Passo 2

Vamos simplificar o integrando antes de integrar. Primeiro escrevemos a raiz como potência:
\sqrt{3 x^{3}}=(3 x^{3})^{1/2}=3^{1/2}\,x^{3/2}=\sqrt{3}\,x^{3/2}.
Agora multiplicamos por 2x^{2}:
2x^{2}\sqrt{3x^{3}}=2x^{2}\cdot\sqrt{3}\,x^{3/2}=2\sqrt{3}\;x^{2+3/2}.
Lembrando que para potências com mesma base somamos os expoentes: 2+(3/2)=4/2+3/2=7/2. Portanto
2x^{2}\sqrt{3x^{3}}=2\sqrt{3}\;x^{7/2}.

Passo 3

Usamos a regra da constante fora da integral (se c é constante, \int c\,f(x)\,dx=c\int f(x)\,dx). Assim
\int_{1}^{2}2x^{2}\sqrt{3x^{3}}\,dx=2\sqrt{3}\int_{1}^{2}x^{7/2}\,dx.

Passo 4

Aplicamos a regra da potência para integrais: se n\neq -1, então
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=7/2. Então n+1=7/2+1=9/2 e
\int x^{7/2}\,dx=\frac{x^{9/2}}{9/2}=\frac{2}{9}x^{9/2}.
Multiplicando pela constante 2\sqrt{3} obtemos a primitiva
F(x)=2\sqrt{3}\cdot\frac{2}{9}x^{9/2}=\frac{4\sqrt{3}}{9}x^{9/2}.

Passo 5

Agora avaliamos a integral definida usando o teorema fundamental do cálculo: \int_{1}^{2} = F(2)-F(1). Assim
\int_{1}^{2}2x^{2}\sqrt{3x^{3}}\,dx=\frac{4\sqrt{3}}{9}\bigl(2^{9/2}-1^{9/2}\bigr)=\frac{4\sqrt{3}}{9}\bigl(2^{9/2}-1\bigr).

Passo 6

Simplificamos 2^{9/2}. Escrevendo 2^{9/2}=2^{4+1/2}=2^{4}\cdot 2^{1/2}=16\sqrt{2}. Substituindo:
\frac{4\sqrt{3}}{9}\bigl(16\sqrt{2}-1\bigr).
Multiplicando os termos:
\frac{4\sqrt{3}}{9}\cdot 16\sqrt{2}=\frac{64}{9}\sqrt{6}, \qquad \frac{4\sqrt{3}}{9}\cdot(-1)=-\frac{4}{9}\sqrt{3}.
Portanto a forma simplificada é
\frac{64}{9}\sqrt{6}-\frac{4}{9}\sqrt{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{64}{9}\sqrt{6}-\frac{4}{9}\sqrt{3}

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