Questão 1. Calcule as seguintes integrais
\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \cos (2 x) \operatorname{sen}(2 x)^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos(2x)\,\operatorname{sen}(2x)^{2}\,dx.
Informações relevantes fornecidas:
  • O integrando é \cos(2x)\,\operatorname{sen}(2x)^{2}.
  • O intervalo de integração é simétrico em torno de zero: -\pi/2 até \pi/2.
  • Não há outras condições adicionais.

Passo 2

Vamos usar a substituição u=\operatorname{sen}(2x). Antes de aplicar, explico a ideia: se u=g(x) é diferenciável, então du=g'(x)\,dx e uma integral do tipo \int f(g(x))g'(x)\,dx fica \int f(u)\,du. Aqui temos exatamente um fator \cos(2x)\,dx que é proporcional a d(\operatorname{sen}(2x)). Façamos as contas do diferencial:
u=\operatorname{sen}(2x)\quad\Rightarrow\quad du=2\cos(2x)\,dx.
Isolando \cos(2x)\,dx obtemos
\cos(2x)\,dx=\frac{1}{2}\,du.

Passo 3

Agora substituímos na integral. O fator \operatorname{sen}(2x)^{2} vira u^{2} e \cos(2x)\,dx vira \tfrac{1}{2}du. Além disso precisamos transformar os limites: quando x=-\pi/2 temos 2x=-\pi e \operatorname{sen}(-\pi)=0; quando x=\pi/2 temos 2x=\pi e \operatorname{sen}(\pi)=0. Assim os limites em u são de 0 até 0. A integral fica
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos(2x)\,\operatorname{sen}(2x)^{2}\,dx = \int_{0}^{0} \frac{1}{2}u^{2}\,du.

Passo 4

Uma integral com os mesmos limites superior e inferior vale 0. Portanto
\int_{0}^{0} \frac{1}{2}u^{2}\,du = 0.
Isso já nos dá o resultado final.

Passo 5

Só para reforçar (e para você ver outra via): podemos também encontrar uma primitiva diretamente. Se considerarmos F(x)=\tfrac{1}{6}\operatorname{sen}^{3}(2x), então
F'(x)=\tfrac{1}{6}\cdot 3\operatorname{sen}^{2}(2x)\cdot\cos(2x)\cdot 2 =\cos(2x)\,\operatorname{sen}^{2}(2x),
ou seja, F é uma antiderivada do integrando. Avaliando nos limites:
\left.\tfrac{1}{6}\operatorname{sen}^{3}(2x)\right|_{x=-\pi/2}^{x=\pi/2} =\tfrac{1}{6}\big(\operatorname{sen}^{3}(\pi)-\operatorname{sen}^{3}(-\pi)\big) =\tfrac{1}{6}(0-0)=0,
confirmando o resultado anterior.

Resposta

0

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