Um tanque cônico tem uma altura de 3 m c um raio de 2 m no topo. Suponha que o tanque seja enchido de água a uma taxa de 2 m^3 / min. A que velocidade sobe o nível da água quando estiver a 2 m ?

Passo 1

O enunciado descreve um tanque cônico com altura total H=3 m e raio do topo R=2 m, sendo enchido de água a uma taxa constante dVdt=2 m^3/min. Precisamos achar a velocidade de subida do nível da água dhdt quando a altura da água é h=2 m. Vamos usar semelhança de triângulos para relacionar o raio da superfície da água r com sua altura h, a fórmula do volume de um cone e derivação implícita em relação ao tempo.

Passo 2

Pela semelhança de triângulos no cone completo e no cone de água, temos
rh=RH=23
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r=23 ,h

Passo 3

O volume da água em função de h é
V=13pi r^2 h =13pil(23hr)^2h =4pi27,h^3

Passo 4

Derivando ambos os lados em relação a t,
dVdt =4pi27cdot 3h^2;dhdt =4pi9,h^2;dhdt
Isolando dhdt,
dhdt =dV/dttfrac4pi9,h^2 =2tfrac4pi9,(2)^2

Passo 5

Calculando em h=2 m,
dhdt =2tfrac4pi9cdot 4 =2tfrac16pi9 =2cdot916pi =98pi m/min

Resposta

A altura da água está subindo à velocidade
dhdt=98pi m/min
quando h=2 m.

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