Questão 1. Calcule os seguintes limites, identificando o tipo da indeterminação, caso existam:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}+\operatorname{tg}(x)}{x+\operatorname{sen}(x)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{x^{2}+\operatorname{tg}(x)}{x+\operatorname{sen}(x)}.
Informações fornecidas e observações iniciais:
  • Ao aproximar x de 0 temos \operatorname{tg}(0)=0 e \operatorname{sen}(0)=0.
  • Portanto o numerador tende a 0 e o denominador tende a 0, logo a expressão é uma indeterminação do tipo \frac{0}{0}.
  • Precisamos resolver essa indeterminação para encontrar o valor do limite.

Passo 2

Vou usar a Regra de L’Hôpital, que é uma ferramenta padrão para tratar indeterminações do tipo \frac{0}{0}. A regra diz, em palavras simples: se \lim_{x\to a} f(x)=0 e \lim_{x\to a} g(x)=0 e f e g são diferenciáveis em torno de a (exceto talvez em a), então, se existir o limite
\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},
ele é igual a \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}. Ou seja, podemos derivar numerador e denominador e calcular o limite das derivadas. Aqui a=0, f(x)=x^{2}+\operatorname{tg}(x) e g(x)=x+\operatorname{sen}(x).

Passo 3

Calculemos as derivadas necessárias passo a passo (explico cada derivada para você não ter dúvida):
  • A derivada de x^{2} é 2x.
  • A derivada de \operatorname{tg}(x) é \operatorname{sec}^{2}(x), onde \operatorname{sec}(x)=1/\cos(x). Ou seja, \frac{d}{dx}\operatorname{tg}(x)=\frac{1}{\cos^{2}(x)}=\operatorname{sec}^{2}(x).
  • A derivada de x é 1.
  • A derivada de \operatorname{sen}(x) é \cos(x).
Portanto
f'(x)=2x+\operatorname{sec}^{2}(x), \qquad g'(x)=1+\cos(x).

Passo 4

Aplicando a Regra de L’Hôpital, o limite procurado é igual ao limite das derivadas (se existir):
\lim_{x\to 0}\frac{x^{2}+\operatorname{tg}(x)}{x+\operatorname{sen}(x)} = \lim_{x\to 0}\frac{2x+\operatorname{sec}^{2}(x)}{1+\cos(x)}.
Agora avaliamos esse limite substituindo x=0 (já que não há indeterminação nas derivadas neste ponto):
  • \operatorname{sec}^{2}(0)=\frac{1}{\cos^{2}(0)}=\frac{1}{1^{2}}=1.
  • \cos(0)=1.
Logo
\lim_{x\to 0}\frac{2x+\operatorname{sec}^{2}(x)}{1+\cos(x)}=\frac{2\cdot 0 + 1}{1+1}=\frac{1}{2}.

Passo 5

Para você fixar a intuição: dá para resolver também usando séries de Taylor/Maclaurin para funções trigonométricas (é uma forma alternativa e útil em várias provas). Para x pequeno,
\operatorname{tg}(x)=x+\frac{x^{3}}{3}+o(x^{3}), \qquad \operatorname{sen}(x)=x-\frac{x^{3}}{6}+o(x^{3}).
Substituindo no quociente:
\frac{x^{2}+\operatorname{tg}(x)}{x+\operatorname{sen}(x)} =\frac{x^{2}+\left(x+\frac{x^{3}}{3}+o(x^{3})\right)}{x+\left(x-\frac{x^{3}}{6}+o(x^{3})\right)} =\frac{x\bigl(1+x+\frac{x^{2}}{3}+o(x^{2})\bigr)}{x\bigl(2-\frac{x^{2}}{6}+o(x^{2})\bigr)}.
Cancelando x e passando ao limite, obtemos novamente \frac{1}{2}. Isso confirma o resultado obtido por L’Hôpital.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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