Questão 1. Calcule os seguintes limites, identificando o tipo da indeterminação, caso existam:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações fornecidas e observações iniciais:
- Ao aproximar
de temos e . - Portanto o numerador tende a
e o denominador tende a , logo a expressão é uma indeterminação do tipo . - Precisamos resolver essa indeterminação para encontrar o valor do limite.
Passo 2
Vou usar a Regra de L’Hôpital, que é uma ferramenta padrão para tratar indeterminações do tipo
. A regra diz, em palavras simples: se
e
e
e
são diferenciáveis em torno de
(exceto talvez em
), então, se existir o limite
ele é igual a
. Ou seja, podemos derivar numerador e denominador e calcular o limite das derivadas. Aqui
,
e
.
Passo 3
Calculemos as derivadas necessárias passo a passo (explico cada derivada para você não ter dúvida):
- A derivada de
é . - A derivada de
é , onde . Ou seja, . - A derivada de
é . - A derivada de
é .
Portanto
Passo 4
Aplicando a Regra de L’Hôpital, o limite procurado é igual ao limite das derivadas (se existir):
Agora avaliamos esse limite substituindo
(já que não há indeterminação nas derivadas neste ponto):
-
. -
.
Logo
Passo 5
Para você fixar a intuição: dá para resolver também usando séries de Taylor/Maclaurin para funções trigonométricas (é uma forma alternativa e útil em várias provas). Para
pequeno,
Substituindo no quociente:
Cancelando
e passando ao limite, obtemos novamente
. Isso confirma o resultado obtido por L’Hôpital.