Questão 1. Calcule os seguintes limites, identificando o tipo da indeterminação, caso existam:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(e^{x}+x\right)^{1 / x}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o limite
\lim_{x\to+\infty}\left(e^{x}+x\right)^{1/x}
e que eu identifique o tipo de indeterminação, se houver. As informações relevantes são:
  • a variável x tende para +\infty;
  • a expressão é \left(e^{x}+x\right)^{1/x}.
    Não faço nenhum cálculo ainda, só organizei o que é pedido.

Passo 2

Vamos identificar o tipo de indeterminação observando o comportamento das partes:
  • a base e^{x}+x tende para +\infty quando x\to+\infty (porque e^{x} cresce muito);
  • o expoente 1/x tende para 0 quando x\to+\infty.
    Portanto a expressão tem a forma \infty^{0}, que é uma indeterminação: não se pode concluir imediatamente o valor do limite só por essa forma.

Passo 3

Para tratar indeterminações do tipo \infty^{0} é muito útil aplicar o logaritmo natural, porque ele transforma potência em produto e facilita o limite. Vou definir
y=\left(e^{x}+x\right)^{1/x}
e estudar primeiro \ln y. Depois, se \lim \ln y existir, recupero \lim y como a exponencial desse limite.

Passo 4

Calculo \ln y:
\ln y=\ln\left(\left(e^{x}+x\right)^{1/x}\right)=\frac{1}{x}\ln\left(e^{x}+x\right).
Agora simplifico o logaritmo dentro:
\ln\left(e^{x}+x\right)=\ln\left(e^{x}\left(1+x e^{-x}\right)\right)=\ln\left(e^{x}\right)+\ln\left(1+x e^{-x}\right)=x+\ln\left(1+x e^{-x}\right).

Passo 5

Substituo na expressão de \ln y:
\ln y=\frac{1}{x}\bigl(x+\ln(1+x e^{-x})\bigr)=1+\frac{1}{x}\ln\bigl(1+x e^{-x}\bigr).
Agora preciso avaliar o limite da segunda parcela quando x\to+\infty. Note que
u(x):=x e^{-x}\ge 0\quad\text{e}\quad \lim_{x\to+\infty}u(x)=0,
pois a exponencial no denominador vence o fator x. Para u\ge 0 vale a desigualdade elementar
0\le \ln(1+u)\le u.
Aplicando isso com u=u(x) temos
0\le \frac{1}{x}\ln\bigl(1+x e^{-x}\bigr)\le \frac{1}{x}\,x e^{-x}=e^{-x}.
Como e^{-x}\to 0 quando x\to+\infty, pelo confronto segue que
\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}\ln\bigl(1+x e^{-x}\bigr)=0.

Passo 6

Com isso, do passo anterior obtemos
\lim_{x\to+\infty}\ln y = 1 + 0 = 1.
Como y>0 para x grande, posso aplicar a exponencial para recuperar o limite de y:
\lim_{x\to+\infty} y = \exp\left(\lim_{x\to+\infty}\ln y\right)=\exp(1)=e.

Resposta

\displaystyle e

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