Questão 1. Calcule os seguintes limites, identificando o tipo da indeterminação, caso existam:
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule o limite
e que eu identifique o tipo de indeterminação, se houver. As informações relevantes são:
- a variável
tende para ; - a expressão é
.
Não faço nenhum cálculo ainda, só organizei o que é pedido.
Passo 2
Vamos identificar o tipo de indeterminação observando o comportamento das partes:
- a base
tende para quando (porque cresce muito); - o expoente
tende para quando .
Portanto a expressão tem a forma, que é uma indeterminação: não se pode concluir imediatamente o valor do limite só por essa forma.
Passo 3
Para tratar indeterminações do tipo
é muito útil aplicar o logaritmo natural, porque ele transforma potência em produto e facilita o limite. Vou definir
e estudar primeiro
. Depois, se
existir, recupero
como a exponencial desse limite.
Passo 4
Calculo
:
Agora simplifico o logaritmo dentro:
Passo 5
Substituo na expressão de
:
Agora preciso avaliar o limite da segunda parcela quando
. Note que
pois a exponencial no denominador vence o fator
. Para
vale a desigualdade elementar
Aplicando isso com
temos
Como
quando
, pelo confronto segue que
Passo 6
Com isso, do passo anterior obtemos
Como
para
grande, posso aplicar a exponencial para recuperar o limite de
: