Questão 6. Calcule os seguintes limites no infinito:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \log \frac{x}{x+1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to+\infty}\log\frac{x}{x+1}.
O conteúdo envolve comportamento assintótico de funções racionais e a continuidade do logaritmo.

Passo 2

Reescrevemos a fração de forma a evidenciar o termo que tende a 1 quando x\to+\infty:
\frac{x}{x+1} = \frac{1}{1 + \tfrac{1}{x}}.

Passo 3

Calculamos o limite do interior do logaritmo:
\lim_{x\to+\infty}\bigl(1 + \tfrac{1}{x}\bigr) = 1 \quad\Longrightarrow\quad \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x+1} = \frac{1}{1} = 1.

Passo 4

Como a função \log é contínua em torno de 1, podemos passar o limite para dentro do logaritmo:
\lim_{x\to+\infty}\log\frac{x}{x+1} =\log\bigl(\lim_{x\to+\infty}\tfrac{x}{x+1}\bigr) =\log(1)=0.

Resposta

0

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