Questão 4: Calcule os seguintes limites, justificando as passagens através de propriedades e técnicas estudadas em sala.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas e observações imediatas:
- O numerador é o polinômio
, (grau ). - O denominador é o polinômio
, (grau ). - Queremos o comportamento da razão quando
cresce sem limite, isto é, .
Passo 2
Ideia geral (sem ainda calcular): quando temos uma fração de polinômios, o comportamento para
costuma ser dominado pelos termos de maior grau (os termos “dominantes”). Aqui o numerador cresce como
e o denominador cresce como
. Intuitivamente a razão deve crescer sem limite, mas vamos justificar passo a passo usando propriedades de limites vistas em aula.
Passo 3
Técnica escolhida: dividir numerador e denominador por
(o maior poder presente no denominador) para tornar claro o limite. Explico por que isso funciona:
- Se eu dividir numerador e denominador por uma mesma função de
que não seja zero para grande (por exemplo para ), a expressão não muda. - Depois posso aplicar propriedades de limite: limites de somas, produtos e quocientes (quando o limite do denominador for diferente de zero).
Passo 4
Dividindo numerador e denominador por
obtemos uma expressão equivalente (válida para
, e em particular para
suficientemente grande):
Passo 5
Agora vamos analisar os limites das partes simples quando
. Usamos propriedades básicas:
-
porque tende a zero quando cresce. - Portanto,
Aqui usei a propriedade de que o limite da soma é a soma dos limites, quando ambos existem (ou um é infinito e o outro finito, tratamos com cuidado). Sabemos que
e
. Logo
Passo 6
Para o denominador da fração obtida:
pois
.
Passo 7
Agora combine os resultados. Temos uma fração cujo numerador tende a
e cujo denominador tende a
(um número finito não nulo). Uma propriedade clara dos limites é: se
e
com
, então
Aplicando isso a
vemos que o numerador tende a
e o denominador tende a
, portanto o limite da fração é
.
Passo 8
Interpretação final e reforço (jeito rápido que funciona na prova): como o grau do numerador (
) é maior que o do denominador (
), a razão tem crescimento equivalente a
quando
é grande, e isso tende a
. Essa é uma forma rápida de ver o resultado sem muitos cálculos, mas a justificativa formal foi feita acima.