Questão 4: Calcule os seguintes limites, justificando as passagens através de propriedades e técnicas estudadas em sala.
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x^{2}+1}{3 x-5}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\frac{2x^{2}+1}{3x-5}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • O numerador é o polinômio \,2x^{2}+1, (grau 2).
  • O denominador é o polinômio \,3x-5, (grau 1).
  • Queremos o comportamento da razão quando x cresce sem limite, isto é, x\to\infty.

Passo 2

Ideia geral (sem ainda calcular): quando temos uma fração de polinômios, o comportamento para x\to\infty costuma ser dominado pelos termos de maior grau (os termos “dominantes”). Aqui o numerador cresce como x^{2} e o denominador cresce como x. Intuitivamente a razão deve crescer sem limite, mas vamos justificar passo a passo usando propriedades de limites vistas em aula.

Passo 3

Técnica escolhida: dividir numerador e denominador por x (o maior poder presente no denominador) para tornar claro o limite. Explico por que isso funciona:
  • Se eu dividir numerador e denominador por uma mesma função de x que não seja zero para x grande (por exemplo x para x\to\infty), a expressão não muda.
  • Depois posso aplicar propriedades de limite: limites de somas, produtos e quocientes (quando o limite do denominador for diferente de zero).

Passo 4

Dividindo numerador e denominador por x obtemos uma expressão equivalente (válida para x\neq0, e em particular para x suficientemente grande):
\frac{2x^{2}+1}{3x-5} = \frac{\dfrac{2x^{2}+1}{x}}{\dfrac{3x-5}{x}} = \frac{2x+\dfrac{1}{x}}{3-\dfrac{5}{x}}.

Passo 5

Agora vamos analisar os limites das partes simples quando x\to\infty. Usamos propriedades básicas:
  • \displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x}=0 porque 1/x tende a zero quando x cresce.
  • Portanto,
\lim_{x\to\infty}\left(2x+\dfrac{1}{x}\right) = \lim_{x\to\infty}2x+\lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x}.
Aqui usei a propriedade de que o limite da soma é a soma dos limites, quando ambos existem (ou um é infinito e o outro finito, tratamos com cuidado). Sabemos que \lim_{x\to\infty}2x=+\infty e \lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x}=0. Logo
\lim_{x\to\infty}\left(2x+\dfrac{1}{x}\right)=+\infty.

Passo 6

Para o denominador da fração obtida:
\lim_{x\to\infty}\left(3-\dfrac{5}{x}\right) = 3-\lim_{x\to\infty}\dfrac{5}{x} = 3-0=3,
pois \lim_{x\to\infty}\dfrac{5}{x}=0.

Passo 7

Agora combine os resultados. Temos uma fração cujo numerador tende a +\infty e cujo denominador tende a 3 (um número finito não nulo). Uma propriedade clara dos limites é: se \lim_{x\to\infty}A(x)=+\infty e \lim_{x\to\infty}B(x)=b com b\neq0, então
\lim_{x\to\infty}\frac{A(x)}{B(x)}=+\infty.
Aplicando isso a
\frac{2x+\dfrac{1}{x}}{3-\dfrac{5}{x}},
vemos que o numerador tende a +\infty e o denominador tende a 3\neq0, portanto o limite da fração é +\infty.

Passo 8

Interpretação final e reforço (jeito rápido que funciona na prova): como o grau do numerador ( 2) é maior que o do denominador ( 1), a razão tem crescimento equivalente a \dfrac{2x^{2}}{3x}=\dfrac{2}{3}x quando x é grande, e isso tende a +\infty. Essa é uma forma rápida de ver o resultado sem muitos cálculos, mas a justificativa formal foi feita acima.

Resposta

+\infty

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