Questão 3: Considere a função f(x)=2-\frac{2}{x}.
( \_\_\_\_ /25%)
(a) Determine os limites:
  • (i) \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)
  • (ii) \lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)
  • (iii) \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)
  • (iv) \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)
    (b) Encontre as equações das assíntotas horizontais e verticais da função f, caso existam.
    (c) Apresente um esboço do gráfico de f, com base nas informações dos itens anteriores.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, com os dados extraídos do enunciado.
  • A função dada é f(x)=2-\dfrac{2}{x}.
  • Domínio implícito: todos os x tais que x\neq 0 (pois há divisão por x).
  • O enunciado pede:
    • (a) calcular os limites
      • (i) \lim_{x\to 0^{+}} f(x)
      • (ii) \lim_{x\to 0^{-}} f(x)
      • (iii) \lim_{x\to \infty} f(x)
      • (iv) \lim_{x\to -\infty} f(x)
    • (b) encontrar as equações das assíntotas horizontais e verticais, quando existirem.
    • (c) apresentar um esboço do gráfico de f baseado nas informações anteriores.
  • Informação útil que vamos usar (não é a resolução, apenas dados): podemos reescrever f(x)=2-\dfrac{2}{x}=\dfrac{2x-2}{x}=\dfrac{2(x-1)}{x}.

Passo 2

Entender comportamento de termos simples que aparecem em f(x).
  • A função f é composta por uma constante 2 e pelo termo -\dfrac{2}{x}.
  • Importante saber o comportamento de \dfrac{1}{x}:
    • Se x\to 0^{+} então \dfrac{1}{x}\to +\infty.
    • Se x\to 0^{-} então \dfrac{1}{x}\to -\infty.
    • Se x\to \infty então \dfrac{1}{x}\to 0^{+}.
    • Se x\to -\infty então \dfrac{1}{x}\to 0^{-}.
  • Assim, o termo -\dfrac{2}{x} tem sinais invertidos comparado a \dfrac{1}{x}: quando \dfrac{1}{x}\to +\infty então -\dfrac{2}{x}\to -\infty, e assim por diante. Vamos usar isso para os limites.

Passo 3

Calcular \lim_{x\to 0^{+}} f(x).
  • Para x\to 0^{+} temos \dfrac{1}{x}\to +\infty.
  • Então -\dfrac{2}{x}\to -\infty.
  • Somando a constante 2 (que é finita) não muda a divergência para -\infty. Formalmente: \lim_{x\to 0^{+}} f(x)=\lim_{x\to 0^{+}}\left(2-\dfrac{2}{x}\right)=2+ \lim_{x\to 0^{+}}\left(-\dfrac{2}{x}\right)=2+(-\infty)=-\infty.

Passo 4

Calcular \lim_{x\to 0^{-}} f(x).
  • Para x\to 0^{-} temos \dfrac{1}{x}\to -\infty.
  • Então -\dfrac{2}{x}\to +\infty.
  • Somando a constante 2 resulta em +\infty. Formalmente: \lim_{x\to 0^{-}} f(x)=\lim_{x\to 0^{-}}\left(2-\dfrac{2}{x}\right)=2+ \lim_{x\to 0^{-}}\left(-\dfrac{2}{x}\right)=2+(+\infty)=+\infty.

Passo 5

Calcular \lim_{x\to \infty} f(x).
  • Para x\to \infty temos \dfrac{2}{x}\to 0^{+}.
  • Então -\dfrac{2}{x}\to 0^{-}.
  • Portanto \lim_{x\to \infty} f(x)=\lim_{x\to \infty}\left(2-\dfrac{2}{x}\right)=2-0=2.
  • Intuição: quando x fica muito grande, o termo \dfrac{2}{x} fica desprezível, sobrando a constante 2.

Passo 6

Calcular \lim_{x\to -\infty} f(x).
  • Para x\to -\infty temos \dfrac{2}{x}\to 0^{-}.
  • Então -\dfrac{2}{x}\to 0^{+}.
  • Portanto \lim_{x\to -\infty} f(x)=\lim_{x\to -\infty}\left(2-\dfrac{2}{x}\right)=2-0=2.

Passo 7

Interpretar resultados como assíntotas (definições rápidas e aplicação).
  • Definição prática de assíntota vertical: se x=a faz f(x)\to \pm\infty quando x\to a^{+} ou x\to a^{-} e f não está definida em a, então x=a é assíntota vertical.
    • Aqui x=0 não pertence ao domínio e \lim_{x\to 0^{+}} f(x)=-\infty, \lim_{x\to 0^{-}} f(x)=+\infty. Logo há uma assíntota vertical em x=0.
  • Definição prática de assíntota horizontal: se \lim_{x\to \infty} f(x)=L ou \lim_{x\to -\infty} f(x)=L (mesmo L ou não), então y=L é assíntota horizontal (à direita ou à esquerda).
    • Aqui \lim_{x\to \infty} f(x)=2 e \lim_{x\to -\infty} f(x)=2. Logo existe assíntota horizontal comum y=2.

Passo 8

Informações úteis adicionais para desenhar o esboço (interceptos, sinais e comportamento local).
  • Zeros (intercepto em x): resolver f(x)=0. 2-\dfrac{2}{x}=0 \implies 2=\dfrac{2}{x}\implies x=1.Portanto há um ponto de cruzamento do eixo x em (1,0).
  • Não há intercepto em y porque x=0 não pertence ao domínio; portanto não existe ponto (0,y).
  • Valores de referência para ajudar no esboço (pegar estes valores é opcional na prova, mas muito útil):
    • f(1)=0.
    • f(2)=2-\dfrac{2}{2}=2-1=1.
    • f\!\left(\dfrac{1}{2}\right)=2-\dfrac{2}{1/2}=2-4=-2.
    • f(-1)=2-\dfrac{2}{-1}=2+2=4.
    • f(-2)=2-\dfrac{2}{-2}=2+1=3.
  • Observação de monotonicidade (ajuda no formato): derivando f, f'(x)=\dfrac{d}{dx}\!\left(2-\dfrac{2}{x}\right)=\dfrac{2}{x^{2}}>0\quad\text{para }x\neq 0.Isso mostra que f é estritamente crescente em (-\infty,0) e também em (0,\infty).
  • Observação sobre concavidade: segunda derivada f''(x)=-\dfrac{4}{x^{3}},que é negativa para x>0 (concavidade para baixo em (0,\infty)) e positiva para x<0 (concavidade para cima em (-\infty,0)). Isso ajuda a desenhar o “arco” correto em cada ramo.

Passo 9

Instruções práticas e passo a passo para desenhar o esboço (faça assim no rascunho):
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Trace linha pontilhada vertical em x=0 (assíntota vertical) e linha pontilhada horizontal em y=2 (assíntota horizontal).
  3. Para x>0:
    • A curva fica abaixo de y=2 (pois -\dfrac{2}{x}<0 quando x>0).
    • Aproxima y=2 quando x\to\infty pela baixo (tendência a 2^{-}).
    • Vai para -\infty quando x\to 0^{+}.
    • Passa por (1,0) e por \left(\dfrac{1}{2},-2\right) e (2,1).
    • É crescente e levemente côncava para baixo.
  4. Para x<0:
    • A curva fica acima de y=2 (pois -\dfrac{2}{x}>0 quando x<0).
    • Aproxima y=2 quando x\to -\infty pela cima (tendência a 2^{+}).
    • Vai para +\infty quando x\to 0^{-}.
    • Passa por (-1,4) e (-2,3).
    • É crescente e côncava para cima.
  5. Conecte suavemente os pontos de cada ramo respeitando as assíntotas e as curvaturas indicadas.

Resposta

(i) \displaystyle \lim_{x\to 0^{+}} f(x)=-\infty
(ii) \displaystyle \lim_{x\to 0^{-}} f(x)=+\infty
(iii) \displaystyle \lim_{x\to \infty} f(x)=2
(iv) \displaystyle \lim_{x\to -\infty} f(x)=2
Assíntotas:
Vertical: x=0
Horizontal: y=2
Esboço (descrição sucinta): ramo para x>0 abaixo de y=2, crescente, vai a -\infty em x\to 0^{+} e aproxima y=2 quando x\to\infty; ramo para x<0 acima de y=2, crescente, vai a +\infty em x\to 0^{-} e aproxima y=2 quando x\to -\infty. Ponto de cruzamento do eixo x em (1,0).

Exercícios relacionados