Questão 3: Considere a função
.
(
/25%)
(a) Determine os limites:
- (i)
- (ii)
- (iii)
- (iv)
(b) Encontre as equações das assíntotas horizontais e verticais da função
, caso existam.
(c) Apresente um esboço do gráfico de
, com base nas informações dos itens anteriores.
(
(a) Determine os limites:
(b) Encontre as equações das assíntotas horizontais e verticais da função
(c) Apresente um esboço do gráfico de
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, com os dados extraídos do enunciado.
- A função dada é
. - Domínio implícito: todos os
tais que (pois há divisão por ). - O enunciado pede:
- (a) calcular os limites
- (i)
- (ii)
- (iii)
- (iv)
- (i)
- (b) encontrar as equações das assíntotas horizontais e verticais, quando existirem.
- (c) apresentar um esboço do gráfico de
baseado nas informações anteriores.
- (a) calcular os limites
- Informação útil que vamos usar (não é a resolução, apenas dados): podemos reescrever
Passo 2
Entender comportamento de termos simples que aparecem em
.
- A função
é composta por uma constante e pelo termo . - Importante saber o comportamento de
: - Se
então . - Se
então . - Se
então . - Se
então .
- Se
- Assim, o termo
tem sinais invertidos comparado a : quando então , e assim por diante. Vamos usar isso para os limites.
Passo 3
Calcular
.
- Para
temos . - Então
. - Somando a constante
(que é finita) não muda a divergência para . Formalmente:
Passo 4
Calcular
.
- Para
temos . - Então
. - Somando a constante
resulta em . Formalmente:
Passo 5
Calcular
.
- Para
temos . - Então
. - Portanto
- Intuição: quando
fica muito grande, o termo fica desprezível, sobrando a constante .
Passo 6
Calcular
.
- Para
temos . - Então
. - Portanto
Passo 7
Interpretar resultados como assíntotas (definições rápidas e aplicação).
- Definição prática de assíntota vertical: se
faz quando ou e não está definida em , então é assíntota vertical. - Aqui
não pertence ao domínio e , . Logo há uma assíntota vertical em .
- Aqui
- Definição prática de assíntota horizontal: se
ou (mesmo ou não), então é assíntota horizontal (à direita ou à esquerda). - Aqui
e . Logo existe assíntota horizontal comum .
- Aqui
Passo 8
Informações úteis adicionais para desenhar o esboço (interceptos, sinais e comportamento local).
- Zeros (intercepto em
): resolver . Portanto há um ponto de cruzamento do eixo em . - Não há intercepto em
porque não pertence ao domínio; portanto não existe ponto . - Valores de referência para ajudar no esboço (pegar estes valores é opcional na prova, mas muito útil):
-
. -
. -
. -
. -
.
-
- Observação de monotonicidade (ajuda no formato): derivando
, Isso mostra que é estritamente crescente em e também em . - Observação sobre concavidade: segunda derivada
que é negativa para (concavidade para baixo em ) e positiva para (concavidade para cima em ). Isso ajuda a desenhar o “arco” correto em cada ramo.
Passo 9
Instruções práticas e passo a passo para desenhar o esboço (faça assim no rascunho):
- Desenhe os eixos
e . - Trace linha pontilhada vertical em
(assíntota vertical) e linha pontilhada horizontal em (assíntota horizontal). - Para
: - A curva fica abaixo de
(pois quando ). - Aproxima
quando pela baixo (tendência a ). - Vai para
quando . - Passa por
e por e . - É crescente e levemente côncava para baixo.
- A curva fica abaixo de
- Para
: - A curva fica acima de
(pois quando ). - Aproxima
quando pela cima (tendência a ). - Vai para
quando . - Passa por
e . - É crescente e côncava para cima.
- A curva fica acima de
- Conecte suavemente os pontos de cada ramo respeitando as assíntotas e as curvaturas indicadas.
Resposta
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(ii)
(iii)
(iv)
Assíntotas:
Vertical:
Horizontal:
Vertical:
Horizontal:
Esboço (descrição sucinta): ramo para
abaixo de
, crescente, vai a
em
e aproxima
quando
; ramo para
acima de
, crescente, vai a
em
e aproxima
quando
. Ponto de cruzamento do eixo
em
.