Questão 2: Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F), justificando suas ( \_\_\_\_\) /15\%) respostas de forma clara e organizada. ( ) O conjunto imagem da função \(f(x)=-x^{2}+16\) é \((-\infty, 16]\). ( ) A função \[h(x)= \begin{cases}x+3, & \text { se } x<5 \\\\ 2 x-2, & \text { se } x \geq 5\end{cases}
é contínua para todo x \in \mathbb{R}\]. ( ) O domínio da função \(g(x)=\frac{\sqrt{x}}{x^{2}-9} é \mathbb{R}-\{-3,3\}, ou seja, todos os números reais diferentes de -3 e 3 .
( ) As funções m(x)=\cos (x) e n(x)=t g(x) são contínuas em \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar se cada uma das quatro afirmações é verdadeira (V) ou falsa (F) e justificar claramente cada resposta. As afirmações são, na ordem:
  1. O conjunto imagem da função f(x)=-x^{2}+16\) é \((-\infty,16]\). 2. A função \[h(x)= \begin{cases}x+3, & \text{se } x<5 \\[4pt] 2x-2, & \text{se } x\ge 5\end{cases}
é contínua para todo x\in\mathbb{R}\]. 3. O domínio da função \(g(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x^{2}-9} é \mathbb{R}-\{-3,3\}.
4. As funções m(x)=\cos(x) e n(x)=\operatorname{tg}(x) são contínuas em \mathbb{R}.
Informações relevantes dadas: as expressões explícitas de f,h,g,m,n. O objetivo é testar imagem (conjunto de valores), continuidade e domínio conforme cada item. A partir daqui vamos checar cada item com definição e cálculos passo a passo.]

Passo 2

Analisando o item 1: f(x)=-x^{2}+16.
Definição importante (rápida e prática): o conjunto imagem (ou imagem) de uma função é o conjunto de todos os valores possíveis que f(x) assume quando x percorre todo o domínio (aqui presumimos domínio padrão \mathbb{R}, já que f é polinomial).
Observação sobre a forma de f: é uma parábola. Vou mostrar como achar o valor máximo/minimo e concluir a imagem de forma simples.
Cálculo e argumento:
  • Para todo x\in\mathbb{R} vale x^{2}\ge 0. Então -x^{2}\le 0.
  • Assim -x^{2}+16 \le 16 para todo x. Logo f(x)\le 16 sempre.
  • Existe x que atinge esse valor máximo: em x=0, f(0) = -0^{2}+16 = 16.
  • À medida que |x|\to\infty, x^{2}\to\infty e então f(x)\to -\infty. Portanto f assume valores arbitrariamente negativos.
Conclusão do item 1: a imagem é exatamente todos os números menores ou iguais a 16, ou seja (-\infty,16]. Portanto a afirmação é verdadeira.

Passo 3

Analisando o item 2: função por partes
h(x)= \begin{cases}x+3, & \text{se } x<5 \\[4pt] 2x-2, & \text{se } x\ge 5.\end{cases}
Lembrete sobre continuidade (definição prática): uma função é contínua em um ponto a se (i) o valor h(a) está definido, (ii) o limite \lim_{x\to a} h(x) existe e (iii) \lim_{x\to a} h(x)=h(a). Para funções polinomiais/lineares isso vale para todo ponto. Em funções por partes, só é preciso verificar os pontos de troca de fórmula (aqui x=5); fora desses pontos cada parte é linear e, portanto, contínua.
Verificação no ponto x=5:
  • Limite pela esquerda:
\lim_{x\to 5^-} h(x)=\lim_{x\to 5^-}(x+3)=5+3=8.
  • Valor no ponto x=5 (usar a regra x\ge 5):
h(5)=2\cdot 5-2=10-2=8.
  • Limite pela direita:
\lim_{x\to 5^+} h(x)=\lim_{x\to 5^+}(2x-2)=2\cdot 5-2=8.
Como os limites lateral esquerdo e direito existem e iguais a 8, e h(5)=8, tem-se \lim_{x\to 5} h(x)=h(5). Portanto h é contínua em x=5. Em qualquer outro x cada ramo é linear (contínuo). Logo h é contínua para todo x\in\mathbb{R}.
Conclusão do item 2: a afirmação é verdadeira.]

Passo 4

Analisando o item 3: g(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x^{2}-9}.
Regras para o domínio (passo a passo):
  • A presença de \sqrt{x} (radiciação de índice 2) exige que o radicando seja não negativo para que g(x) seja real. Logo é necessário x\ge 0.
  • A presença de denominador exige que x^{2}-9\neq 0, isto é x\neq 3 e x\neq -3.
Agora combinar as duas condições:
  • Da condição x\ge 0 já se conclui que qualquer x<0 (por exemplo x=-1) não pertence ao domínio real de g, pois \sqrt{-1} não é real.
  • Portanto a restrição x\neq -3 é irrelevante na prática, pois -3<0 já está de fora do domínio por causa da raiz.
  • O único valor proibido no intervalo x\ge 0 é x=3 (pois anula o denominador).
Portanto o domínio real de g é
[0,\infty)\setminus\{3\} = [0,3)\cup(3,\infty).
Comparação com a afirmação do enunciado: o enunciado dizia que o domínio é \mathbb{R}\setminus\{-3,3\}, ou seja, todos os reais exceto -3 e 3. Isso está errado porque esse conjunto inclui números negativos (por exemplo x=-1), para os quais g(x) não é real. Logo a afirmação é falsa.
Conclusão do item 3: a afirmação é falsa.

Passo 5

Analisando o item 4: m(x)=\cos(x) e n(x)=\operatorname{tg}(x) (tangente).
Fatos importantes e uso prático:
  • A função \cos(x) é uma função clássica trigonométrica definida para todo x\in\mathbb{R} e é contínua em todo \mathbb{R}. Logo m(x)=\cos(x) é contínua em \mathbb{R}.
  • A função \operatorname{tg}(x) (tangente) é dada por \operatorname{tg}(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}. Assim só está definida quando \cos(x)\neq 0.
  • Os pontos onde \cos(x)=0 são exatamente x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi, com k\in\mathbb{Z}. Nesses pontos a tangente não está definida e, consequentemente, não pode ser contínua.
  • Portanto \operatorname{tg}(x) não é contínua em todo \mathbb{R}; ela é contínua apenas em cada intervalo aberto em que está definida (ou seja, entre duas assimptotas verticais), mas falha nos pontos x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi.
Conclusão do item 4: a afirmação (que ambas são contínuas em \mathbb{R}) é falsa — \cos(x) é contínua em \mathbb{R}, mas \operatorname{tg}(x) não.

Resposta

  1. V
  2. V
  3. F
  4. F

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