Questão 2: Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F), justificando suas (
é contínua para todo
é
, ou seja, todos os números reais diferentes de -3 e 3 .
( ) As funções
e
são contínuas em
.
( ) As funções
Passo 1
O enunciado pede: determinar se cada uma das quatro afirmações é verdadeira (V) ou falsa (F) e justificar claramente cada resposta. As afirmações são, na ordem:
- O conjunto imagem da função
é contínua para todo
é
.
4. As funções e
são contínuas em
.
4. As funções
Informações relevantes dadas: as expressões explícitas de
. O objetivo é testar imagem (conjunto de valores), continuidade e domínio conforme cada item. A partir daqui vamos checar cada item com definição e cálculos passo a passo.]
Passo 2
Analisando o item 1:
.
Definição importante (rápida e prática): o conjunto imagem (ou imagem) de uma função é o conjunto de todos os valores possíveis que
assume quando
percorre todo o domínio (aqui presumimos domínio padrão
, já que
é polinomial).
Observação sobre a forma de
: é uma parábola. Vou mostrar como achar o valor máximo/minimo e concluir a imagem de forma simples.
Cálculo e argumento:
- Para todo
vale . Então . - Assim
para todo . Logo sempre. - Existe
que atinge esse valor máximo: em , . - À medida que
, e então . Portanto assume valores arbitrariamente negativos.
Conclusão do item 1: a imagem é exatamente todos os números menores ou iguais a
, ou seja
. Portanto a afirmação é verdadeira.
Passo 3
Analisando o item 2: função por partes
Lembrete sobre continuidade (definição prática): uma função é contínua em um ponto
se (i) o valor
está definido, (ii) o limite
existe e (iii)
. Para funções polinomiais/lineares isso vale para todo ponto. Em funções por partes, só é preciso verificar os pontos de troca de fórmula (aqui
); fora desses pontos cada parte é linear e, portanto, contínua.
Verificação no ponto
:
- Limite pela esquerda:
- Valor no ponto
(usar a regra ):
- Limite pela direita:
Como os limites lateral esquerdo e direito existem e iguais a
, e
, tem-se
. Portanto
é contínua em
. Em qualquer outro
cada ramo é linear (contínuo). Logo
é contínua para todo
.
Conclusão do item 2: a afirmação é verdadeira.]
Passo 4
Analisando o item 3:
.
Regras para o domínio (passo a passo):
- A presença de
(radiciação de índice 2) exige que o radicando seja não negativo para que seja real. Logo é necessário . - A presença de denominador exige que
, isto é e .
Agora combinar as duas condições:
- Da condição
já se conclui que qualquer (por exemplo ) não pertence ao domínio real de , pois não é real. - Portanto a restrição
é irrelevante na prática, pois já está de fora do domínio por causa da raiz. - O único valor proibido no intervalo
é (pois anula o denominador).
Portanto o domínio real de
é
Comparação com a afirmação do enunciado: o enunciado dizia que o domínio é
, ou seja, todos os reais exceto
e
. Isso está errado porque esse conjunto inclui números negativos (por exemplo
), para os quais
não é real. Logo a afirmação é falsa.
Conclusão do item 3: a afirmação é falsa.
Passo 5
Analisando o item 4:
e
(tangente).
Fatos importantes e uso prático:
- A função
é uma função clássica trigonométrica definida para todo e é contínua em todo . Logo é contínua em . - A função
(tangente) é dada por . Assim só está definida quando . - Os pontos onde
são exatamente , com . Nesses pontos a tangente não está definida e, consequentemente, não pode ser contínua. - Portanto
não é contínua em todo ; ela é contínua apenas em cada intervalo aberto em que está definida (ou seja, entre duas assimptotas verticais), mas falha nos pontos .
Conclusão do item 4: a afirmação (que ambas são contínuas em
) é falsa —
é contínua em
, mas
não.