Questão 4: Calcule os seguintes limites, justificando as passagens através de propriedades e técnicas estudadas em sala.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite unidirecional quando
se aproxima de
pela esquerda da função
Informações fornecidas:
- A função é dada explicitamente pelo numerador
e pelo denominador . - O ponto de interesse é
e a aproximação é pela esquerda (ou seja, ).
O que se quer: calculare justificar cada passagem.
Passo 2
Vamos fatorar numerador e denominador — técnica básica e muito útil para limites onde aparece uma indeterminação do tipo
.
Calcular a fatoração do numerador:
Calcular a fatoração do denominador:
Passo 3
Usando as fatorações escritas, a expressão original fica (para
):
Como
está apenas se aproximando de
(não é exatamente
), podemos simplificar um fator comum
, obtendo a forma reduzida válida para
:
Explicação importante: essa simplificação é permitida ao estudar limites porque estamos examinando o comportamento da função para valores de
próximos de
mas distintos de
. Não estamos avaliando a função exatamente em
, então cancelar o fator comum é correto para o propósito de calcular o limite.
Passo 4
Agora vamos analisar a função simplificada ao nos aproximarmos de
pela esquerda:
Uma maneira clara de ver o comportamento é fazer a mudança
. Quando
temos
(isto é,
tende a zero com sinal negativo). Reescrevendo:
Passo 5
Agora olhe o termo
quando
. Como
é um número muito pequeno e negativo,
tende a
. Adicionando
não muda o comportamento principal de divergência, logo
Portanto
Passo 6
Interpretação e comentário amigável: o numerador tende a
(positivo) enquanto o denominador tende a
por valores negativos quando
vem da esquerda de
; isso produz uma fração com módulo crescendo sem limite e sinal negativo, ou seja, diverge para
. Um exemplo parecido e intuitivo é
.