Questão 4: Calcule os seguintes limites, justificando as passagens através de propriedades e técnicas estudadas em sala.
\lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{x^{2}-2 x}{x^{2}-4 x+4}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite unidirecional quando x se aproxima de 2 pela esquerda da função
\frac{x^{2}-2 x}{x^{2}-4 x+4}.
Informações fornecidas:
  • A função é dada explicitamente pelo numerador x^{2}-2x e pelo denominador x^{2}-4x+4.
  • O ponto de interesse é x=2 e a aproximação é pela esquerda (ou seja, x\to2^{-}).
    O que se quer: calcular \displaystyle \lim_{x\to2^{-}}\frac{x^{2}-2 x}{x^{2}-4 x+4} e justificar cada passagem.

Passo 2

Vamos fatorar numerador e denominador — técnica básica e muito útil para limites onde aparece uma indeterminação do tipo 0/0.
Calcular a fatoração do numerador:
x^{2}-2x = x(x-2).
Calcular a fatoração do denominador:
x^{2}-4x+4 = (x-2)^{2}.

Passo 3

Usando as fatorações escritas, a expressão original fica (para x\neq2):
\frac{x^{2}-2 x}{x^{2}-4 x+4} = \frac{x(x-2)}{(x-2)^{2}}.
Como x está apenas se aproximando de 2 (não é exatamente 2), podemos simplificar um fator comum (x-2), obtendo a forma reduzida válida para x\neq2:
\frac{x(x-2)}{(x-2)^{2}} = \frac{x}{x-2}.
Explicação importante: essa simplificação é permitida ao estudar limites porque estamos examinando o comportamento da função para valores de x próximos de 2 mas distintos de 2. Não estamos avaliando a função exatamente em x=2, então cancelar o fator comum é correto para o propósito de calcular o limite.

Passo 4

Agora vamos analisar a função simplificada ao nos aproximarmos de 2 pela esquerda:
\lim_{x\to2^{-}}\frac{x}{x-2}.
Uma maneira clara de ver o comportamento é fazer a mudança h=x-2. Quando x\to2^{-} temos h\to0^{-} (isto é, h tende a zero com sinal negativo). Reescrevendo:
\frac{x}{x-2}=\frac{2+h}{h}=\frac{2}{h}+1.

Passo 5

Agora olhe o termo \dfrac{2}{h} quando h\to0^{-}. Como h é um número muito pequeno e negativo, \dfrac{2}{h} tende a -\infty. Adicionando 1 não muda o comportamento principal de divergência, logo
\frac{2}{h}+1 \longrightarrow -\infty \quad \text{quando } h\to0^{-}.
Portanto
\lim_{x\to2^{-}}\frac{x}{x-2} = -\infty.

Passo 6

Interpretação e comentário amigável: o numerador tende a 2 (positivo) enquanto o denominador tende a 0 por valores negativos quando x vem da esquerda de 2; isso produz uma fração com módulo crescendo sem limite e sinal negativo, ou seja, diverge para -\infty. Um exemplo parecido e intuitivo é \lim_{t\to0^{-}}\dfrac{1}{t}=-\infty.

Resposta

-\infty

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