Questão 4: Calcule os seguintes limites, justificando as passagens através de propriedades e técnicas estudadas em sala.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações relevantes dadas:
- A expressão envolve a raiz quadrada
. - O ponto de interesse é
. - Observação imediata: para
o numerador vale e o denominador vale , logo a forma direta é do tipo indeterminado . Isso significa que precisamos manipular a expressão para avaliar o limite.
Passo 2
Identificar uma técnica apropriada: quando aparece uma diferença envolvendo uma raiz, uma técnica clássica e elementar é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado da diferença para eliminar a raiz no numerador. Aqui o conjugado de
é
. Essa é uma técnica algébrica baseada na identidade
que elimina a raiz ao produzir uma diferença de quadrados.
Passo 3
Multiplicamos a expressão por
escrita como
. Assim:
Passo 4
Aplicando a identidade de diferença de quadrados ao numerador (com
e
):
Portanto a expressão fica
para
tal que
(ou seja, para
).
Passo 5
Simplificamos cancelando
(válido para
):
Justificativa do uso dessa simplificação para o limite: duas funções que coincidem em um vizinhança puncturada de
(ou seja, iguais para todo
com
) têm o mesmo limite em
, desde que o limite exista. Assim podemos calcular
Passo 6
Avaliação do limite da forma simplificada: a função
é contínua em
, logo
quando
. Soma e recíproca (quando o denominador não é zero) preservam continuidade, portanto
Passo 7
Comentário pedagógico rápido (para fixar a ideia): essa técnica é a mesma que permite mostrar, de forma geral, que
pois multiplicando pelo conjugado e simplificando chega-se à forma
. No nosso caso fizemos a mesma coisa com
implicitamente, mas sem necessidade de substituir explicitamente.