Questão 4: Calcule os seguintes limites, justificando as passagens através de propriedades e técnicas estudadas em sala.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x^{2}+9}-3}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x^{2}+9}-3}{x^{2}}.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão envolve a raiz quadrada \sqrt{x^{2}+9}.
  • O ponto de interesse é x\to0.
  • Observação imediata: para x=0 o numerador vale \sqrt{0+9}-3=3-3=0 e o denominador vale 0, logo a forma direta é do tipo indeterminado \dfrac{0}{0}. Isso significa que precisamos manipular a expressão para avaliar o limite.

Passo 2

Identificar uma técnica apropriada: quando aparece uma diferença envolvendo uma raiz, uma técnica clássica e elementar é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado da diferença para eliminar a raiz no numerador. Aqui o conjugado de \sqrt{x^{2}+9}-3 é \sqrt{x^{2}+9}+3. Essa é uma técnica algébrica baseada na identidade
(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2},
que elimina a raiz ao produzir uma diferença de quadrados.

Passo 3

Multiplicamos a expressão por 1 escrita como \dfrac{\sqrt{x^{2}+9}+3}{\sqrt{x^{2}+9}+3}. Assim:
\frac{\sqrt{x^{2}+9}-3}{x^{2}} = \frac{\sqrt{x^{2}+9}-3}{x^{2}}\cdot\frac{\sqrt{x^{2}+9}+3}{\sqrt{x^{2}+9}+3}.

Passo 4

Aplicando a identidade de diferença de quadrados ao numerador (com a=\sqrt{x^{2}+9} e b=3):
\sqrt{x^{2}+9}-3 \quad\text{multiplicado por}\quad \sqrt{x^{2}+9}+3 = (\sqrt{x^{2}+9})^{2}-3^{2} = x^{2}+9-9 = x^{2}.
Portanto a expressão fica
\frac{\sqrt{x^{2}+9}-3}{x^{2}} = \frac{x^{2}}{x^{2}\bigl(\sqrt{x^{2}+9}+3\bigr)}
para x tal que x^{2}\neq0 (ou seja, para x\neq0).

Passo 5

Simplificamos cancelando x^{2} (válido para x\neq0):
\frac{x^{2}}{x^{2}\bigl(\sqrt{x^{2}+9}+3\bigr)}=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+9}+3}, \qquad x\neq0.
Justificativa do uso dessa simplificação para o limite: duas funções que coincidem em um vizinhança puncturada de 0 (ou seja, iguais para todo x com 0<|x|<\delta) têm o mesmo limite em 0, desde que o limite exista. Assim podemos calcular
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x^{2}+9}-3}{x^{2}} = \lim_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+9}+3}.

Passo 6

Avaliação do limite da forma simplificada: a função x\mapsto\sqrt{x^{2}+9} é contínua em x=0, logo \sqrt{x^{2}+9}\to\sqrt{0+9}=3 quando x\to0. Soma e recíproca (quando o denominador não é zero) preservam continuidade, portanto
\lim_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+9}+3}=\frac{1}{\sqrt{0+9}+3}=\frac{1}{3+3}=\frac{1}{6}.

Passo 7

Comentário pedagógico rápido (para fixar a ideia): essa técnica é a mesma que permite mostrar, de forma geral, que
\lim_{u\to 0}\frac{\sqrt{1+u}-1}{u}=\frac{1}{2},
pois multiplicando pelo conjugado e simplificando chega-se à forma \dfrac{1}{\sqrt{1+u}+1}\to\tfrac{1}{2}. No nosso caso fizemos a mesma coisa com u=\dfrac{x^{2}}{9} implicitamente, mas sem necessidade de substituir explicitamente.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}

Exercícios relacionados