Questão 1. Calcule os seguintes limites
(1.5) \lim _{x \rightarrow-2} \frac{\sqrt{2-x}-2}{x^{2}-4}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to -2}\frac{\sqrt{2-x}-2}{x^{2}-4}.
Este é um caso de indeterminação do tipo 0/0, pois ao substituir x=-2 o numerador e o denominador anulam. Para resolver, vamos usar a técnica de racionalização do numerador, multiplicando e dividindo pelo conjugado \sqrt{2-x}+2.

Passo 2

Verificamos a forma de indeterminação:
\lim_{x\to -2}\bigl(\sqrt{2-x}-2\bigr)=\sqrt{2-(-2)}-2=2-2=0,
\lim_{x\to -2}\bigl(x^{2}-4\bigr)=(-2)^{2}-4=4-4=0.
Como obtemos 0/0, seguimos com a racionalização.

Passo 3

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{2-x}+2:
\frac{\sqrt{2-x}-2}{x^{2}-4} =\frac{(\sqrt{2-x}-2)(\sqrt{2-x}+2)}{(x^{2}-4)\,(\sqrt{2-x}+2)} =\frac{(2-x)-4}{(x^{2}-4)\,(\sqrt{2-x}+2)} =\frac{-x-2}{(x^{2}-4)\,(\sqrt{2-x}+2)}.

Passo 4

Observamos que x^{2}-4=(x-2)(x+2) e que -x-2=-(x+2). Logo,
\frac{-x-2}{(x-2)(x+2)\,(\sqrt{2-x}+2)} =-\frac{x+2}{(x-2)(x+2)\,(\sqrt{2-x}+2)} =-\frac{1}{(x-2)\,(\sqrt{2-x}+2)}.

Passo 5

Agora podemos substituir x=-2 sem indeterminação:
-\frac{1}{(-2-2)\bigl(\sqrt{2-(-2)}+2\bigr)} =-\frac{1}{(-4)\,(2+2)} =-\frac{1}{-16} =\frac{1}{16}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{16}

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