Questão 3. Calcule os seguintes limites usando produto notável ou divisão de polinômios.
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}+1}{x^{2}+x-2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to1}\frac{x^{3}+1}{x^{2}+x-2}
usando produto notável ou divisão de polinômios. Para isso, vamos fatorar numerador e denominador e analisar o comportamento da função perto de x=1, pois a substituição direta dá 2/0, sugerindo um limite infinito ou inexistente.

Passo 2

Fatoramos o denominador x^{2}+x-2. Procuramos raízes de
x^{2}+x-2=0
que são x=1 e x=-2. Logo,
x^{2}+x-2=(x-1)(x+2).

Passo 3

Fatoramos o numerador x^{3}+1 como soma de cubos. Sabemos que
x^{3}+1 = (x+1)\bigl(x^{2}-x+1\bigr).
Observe que em x=1 temos (1+1)(1^{2}-1+1)=2\cdot1=2\neq0.

Passo 4

Nos aproximamos de x=1 sem que o numerador zere, portanto o sinal do quociente é dado pelo sinal do denominador (x-1)(x+2). Perto de x=1:
  • Se x\to1^{+}, então x-1>0 e x+2>0, logo o denominador é positivo e
\frac{x^{3}+1}{x^{2}+x-2}\to +\infty.
  • Se x\to1^{-}, então x-1<0 e x+2>0, logo o denominador é negativo e
\frac{x^{3}+1}{x^{2}+x-2}\to -\infty.

Passo 5

Como os limites laterais não coincidem (um vai a +\infty e outro a -\infty), o limite de duas vias em x=1 não existe.

Resposta

O limite não existe (há uma assíntota vertical em x=1).

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