Questão 3. Calcule os seguintes limites usando produto notável ou divisão de polinômios.
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{5}-2}{x^{3}-5 x+2}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to 2}\frac{x^5 - 2}{x^3 - 5x + 2}
Estamos em um tópico de limites de funções racionais e vamos usar divisão de polinômios para fatorar o denominador e analisar o comportamento próximo de x=2.

Passo 2

Primeiro, verificamos a tentativa de substituição direta em \frac{x^5 - 2}{x^3 - 5x + 2}:
\text{numerador em }x=2:\quad 2^5 - 2 = 32 - 2 = 30,
\text{denominador em }x=2:\quad 2^3 -5\cdot2 +2 = 8 -10 +2 = 0.
Logo obtemos a forma \tfrac{30}{0}, indicando possível divergência infinita.

Passo 3

Para entender o sinal do denominador perto de x=2, fatoramos x^3 - 5x + 2 por divisão sintética ou polinomial, sabendo que x=2 é raiz:
\frac{x^3 - 5x + 2}{x - 2} = x^2 + 2x - 1,
portanto
x^3 - 5x + 2 = (x - 2)\,(x^2 + 2x - 1).

Passo 4

Próximo a x=2, o fator x^2+2x-1 vale
2^2 + 2\cdot2 -1 = 4 +4 -1 = 7,
que é positivo e não se anula. Assim, perto de x=2 temos
x^3 - 5x + 2 \approx 7\,(x-2).
Então a função comporta-se como
\frac{x^5 - 2}{x^3 - 5x + 2} \approx \frac{30}{7\,(x-2)}.

Passo 5

Dessa forma os limites laterais são
\lim_{x\to2^+}\frac{30}{7\,(x-2)} = +\infty, \qquad \lim_{x\to2^-}\frac{30}{7\,(x-2)} = -\infty.
Como os lados direito e esquerdo divergem com sinais opostos, o limite bilateral não existe (diverge).

Resposta

O limite não existe, pois
\lim_{x\to2^+}\frac{x^5 - 2}{x^3 - 5x + 2} = +\infty \quad\text{e}\quad \lim_{x\to2^-}\frac{x^5 - 2}{x^3 - 5x + 2} = -\infty.

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