Questão 6. Calcule a soma e o produto dos polinômios f=\overline{2} x^{3}+\overline{4} x^{2}+\overline{3} x+\overline{3} e g=\overline{3} x^{4}+\overline{2} x+\overline{4} sobre o corpo \mathbb{Z}_{5}. E sobre o corpo \mathbb{Z}_{7}.

Passo 1

O enunciado dá dois polinômios com coeficientes em anéis de congruência:
f=\overline{2}x^{3}+\overline{4}x^{2}+\overline{3}x+\overline{3}, \qquad g=\overline{3}x^{4}+\overline{2}x+\overline{4}.
Perguntas que temos de responder:
  1. Calcular a soma f+g sobre o corpo \mathbb{Z}_{5}.
  2. Calcular o produto f\cdot g sobre o corpo \mathbb{Z}_{5}.
  3. Calcular a soma f+g sobre o corpo \mathbb{Z}_{7}.
  4. Calcular o produto f\cdot g sobre o corpo \mathbb{Z}_{7}.
Todas as informações necessárias estão no enunciado: os polinômios e os corpos \mathbb{Z}_{5} e \mathbb{Z}_{7}. Não há figura ou tabela faltando.

Passo 2

Relembrando (rápido e prático) como operar nos corpos \mathbb{Z}_{p}:
  • Em \mathbb{Z}_{p} somas e produtos de coeficientes são feitas normalmente e depois reduzidas módulo p. Ou seja, somamos ou multiplicamos inteiros e tomamos o resto da divisão por p.
  • Para somar polinômios juntamos coeficientes de mesmos expoentes e reduzimos módulo p.
  • Para multiplicar polinômios usamos a distribuição: multiplicamos cada termo de f por cada termo de g, obtemos termos com potências x^{i+j}, somamos coeficientes de mesma potência e reduzimos módulo p.
Vamos aplicar isso primeiro em \mathbb{Z}_{5}.

Passo 3

Soma em \mathbb{Z}_{5}.
Escrevo os coeficientes (já como restos mod 5): f= \overline{2}x^{3}+\overline{4}x^{2}+\overline{3}x+\overline{3} e g=\overline{3}x^{4}+\overline{2}x+\overline{4}.
Somando termo a termo (lembrando que toda operação é módulo 5):
  • coeficiente de x^{4}: \overline{0}+\overline{3}=\overline{3}.
  • coeficiente de x^{3}: \overline{2}+\overline{0}=\overline{2}.
  • coeficiente de x^{2}: \overline{4}+\overline{0}=\overline{4}.
  • coeficiente de x: \overline{3}+\overline{2}=\overline{5}=\overline{0} em \mathbb{Z}_{5}.
  • termo constante: \overline{3}+\overline{4}=\overline{7}=\overline{2} em \mathbb{Z}_{5}.
Logo a soma em \mathbb{Z}_{5} é
f+g=\overline{3}x^{4}+\overline{2}x^{3}+\overline{4}x^{2}+\overline{0}x+\overline{2},
ou, eliminando o termo nulo,
f+g=\overline{3}x^{4}+\overline{2}x^{3}+\overline{4}x^{2}+\overline{2}.

Passo 4

Produto em \mathbb{Z}_{5}.
Aplicamos distribuição: multiplicamos cada termo de f por cada termo de g. Vou listar cada produto e reduzir módulo 5.
Termos de f: \overline{2}x^{3},\\ \overline{4}x^{2},\\ \overline{3}x,\\ \overline{3}.
Termos de g: \overline{3}x^{4},\\ \overline{2}x,\\ \overline{4}.
Agora os produtos (faço produto dos coeficientes e somo expoentes; em seguida reduzo coeficiente mod 5):
\begin{aligned} \overline{2}x^{3}\cdot\overline{3}x^{4} &= \overline{6}x^{7}=\overline{1}x^{7},\\\ \overline{2}x^{3}\cdot\overline{2}x &= \overline{4}x^{4},\\\ \overline{2}x^{3}\cdot\overline{4} &= \overline{8}x^{3}=\overline{3}x^{3}, \end{aligned} \qquad \begin{aligned} \overline{4}x^{2}\cdot\overline{3}x^{4} &= \overline{12}x^{6}=\overline{2}x^{6},\\\ \overline{4}x^{2}\cdot\overline{2}x &= \overline{8}x^{3}=\overline{3}x^{3},\\\ \overline{4}x^{2}\cdot\overline{4} &= \overline{16}x^{2}=\overline{1}x^{2}, \end{aligned}
\begin{aligned} \overline{3}x\cdot\overline{3}x^{4} &= \overline{9}x^{5}=\overline{4}x^{5},\\\ \overline{3}x\cdot\overline{2}x &= \overline{6}x^{2}=\overline{1}x^{2},\\\ \overline{3}x\cdot\overline{4} &= \overline{12}x=\overline{2}x, \end{aligned} \qquad \begin{aligned} \overline{3}\cdot\overline{3}x^{4} &= \overline{9}x^{4}=\overline{4}x^{4},\\\ \overline{3}\cdot\overline{2}x &= \overline{6}x=\overline{1}x,\\\ \overline{3}\cdot\overline{4} &= \overline{12}=\overline{2}. \end{aligned}
Agora somamos os coeficientes de cada potência (tudo em \mathbb{Z}_{5}):
  • x^{7}: \overline{1}.
  • x^{6}: \overline{2}.
  • x^{5}: \overline{4}.
  • x^{4}: \overline{4}+\overline{4}=\overline{8}=\overline{3}. (vem de \overline{2}x^{3}\cdot\overline{2}x e \overline{3}\cdot\overline{3}x^{4})
  • x^{3}: \overline{3}+\overline{3}=\overline{6}=\overline{1}.
  • x^{2}: \overline{1}+\overline{1}=\overline{2}.
  • x: \overline{2}+\overline{1}=\overline{3}.
  • constante: \overline{2}.
Portanto o produto em \mathbb{Z}_{5} é
f\cdot g=\overline{1}x^{7}+\overline{2}x^{6}+\overline{4}x^{5}+\overline{3}x^{4}+\overline{1}x^{3}+\overline{2}x^{2}+\overline{3}x+\overline{2}.

Passo 5

Agora repetimos o processo em \mathbb{Z}_{7}. As regras são as mesmas, mas a redução é módulo 7.

Passo 6

Soma em \mathbb{Z}_{7}.
Usando f=\overline{2}x^{3}+\overline{4}x^{2}+\overline{3}x+\overline{3} e g=\overline{3}x^{4}+\overline{2}x+\overline{4} (os coeficientes originais já estão entre 0 e 6):
  • coeficiente de x^{4}: \overline{3}.
  • coeficiente de x^{3}: \overline{2}.
  • coeficiente de x^{2}: \overline{4}.
  • coeficiente de x: \overline{3}+\overline{2}=\overline{5} em \mathbb{Z}_{7}.
  • termo constante: \overline{3}+\overline{4}=\overline{7}=\overline{0} em \mathbb{Z}_{7}.
Logo a soma em \mathbb{Z}_{7} é
f+g=\overline{3}x^{4}+\overline{2}x^{3}+\overline{4}x^{2}+\overline{5}x.

Passo 7

Produto em \mathbb{Z}_{7}.
Faço novamente a distribuição e reduzo os coeficientes módulo 7. Listando os produtos:
\begin{aligned} \overline{2}x^{3}\cdot\overline{3}x^{4} &= \overline{6}x^{7},\\\ \overline{2}x^{3}\cdot\overline{2}x &= \overline{4}x^{4},\\\ \overline{2}x^{3}\cdot\overline{4} &= \overline{8}x^{3}=\overline{1}x^{3}, \end{aligned} \qquad \begin{aligned} \overline{4}x^{2}\cdot\overline{3}x^{4} &= \overline{12}x^{6}=\overline{5}x^{6},\\\ \overline{4}x^{2}\cdot\overline{2}x &= \overline{8}x^{3}=\overline{1}x^{3},\\\ \overline{4}x^{2}\cdot\overline{4} &= \overline{16}x^{2}=\overline{2}x^{2}, \end{aligned}
\begin{aligned} \overline{3}x\cdot\overline{3}x^{4} &= \overline{9}x^{5}=\overline{2}x^{5},\\\ \overline{3}x\cdot\overline{2}x &= \overline{6}x^{2}=\overline{6}x^{2},\\\ \overline{3}x\cdot\overline{4} &= \overline{12}x=\overline{5}x, \end{aligned} \qquad \begin{aligned} \overline{3}\cdot\overline{3}x^{4} &= \overline{9}x^{4}=\overline{2}x^{4},\\\ \overline{3}\cdot\overline{2}x &= \overline{6}x=\overline{6}x,\\\ \overline{3}\cdot\overline{4} &= \overline{12}=\overline{5}. \end{aligned}
Agora somamos os coeficientes por grau (tudo em \mathbb{Z}_{7}):
  • x^{7}: \overline{6}.
  • x^{6}: \overline{5}.
  • x^{5}: \overline{2}.
  • x^{4}: \overline{4}+\overline{2}=\overline{6}.
  • x^{3}: \overline{1}+\overline{1}=\overline{2}.
  • x^{2}: \overline{2}+\overline{6}=\overline{8}=\overline{1}.
  • x: \overline{5}+\overline{6}=\overline{11}=\overline{4}.
  • constante: \overline{5}.
Portanto o produto em \mathbb{Z}_{7} é
f\cdot g=\overline{6}x^{7}+\overline{5}x^{6}+\overline{2}x^{5}+\overline{6}x^{4}+\overline{2}x^{3}+\overline{1}x^{2}+\overline{4}x+\overline{5}.

Resposta

Em \mathbb{Z}_{5}: f+g=\overline{3}x^{4}+\overline{2}x^{3}+\overline{4}x^{2}+\overline{2}.
Em \mathbb{Z}_{5}: f\cdot g=\overline{1}x^{7}+\overline{2}x^{6}+\overline{4}x^{5}+\overline{3}x^{4}+\overline{1}x^{3}+\overline{2}x^{2}+\overline{3}x+\overline{2}.
Em \mathbb{Z}_{7}: f+g=\overline{3}x^{4}+\overline{2}x^{3}+\overline{4}x^{2}+\overline{5}x.
Em \mathbb{Z}_{7}: f\cdot g=\overline{6}x^{7}+\overline{5}x^{6}+\overline{2}x^{5}+\overline{6}x^{4}+\overline{2}x^{3}+\overline{1}x^{2}+\overline{4}x+\overline{5}.

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