Questão 6. Calcule a soma e o produto dos polinômios f=\overline{2} x^{3}+\overline{4} x^{2}+\overline{3} x+\overline{3} e g=\overline{3} x^{4}+\overline{2} x+\overline{4} sobre o corpo \mathbb{Z}_{5}. E sobre o corpo \mathbb{Z}_{7}.
Passo 1
O enunciado dá dois polinômios com coeficientes em anéis de congruência:
Calcular o produto f\cdot g sobre o corpo \mathbb{Z}_{5}.
Calcular a soma f+g sobre o corpo \mathbb{Z}_{7}.
Calcular o produto f\cdot g sobre o corpo \mathbb{Z}_{7}.
Todas as informações necessárias estão no enunciado: os polinômios e os corpos \mathbb{Z}_{5} e \mathbb{Z}_{7}. Não há figura ou tabela faltando.
Passo 2
Relembrando (rápido e prático) como operar nos corpos \mathbb{Z}_{p}:
Em \mathbb{Z}_{p} somas e produtos de coeficientes são feitas normalmente e depois reduzidas módulo p. Ou seja, somamos ou multiplicamos inteiros e tomamos o resto da divisão por p.
Para somar polinômios juntamos coeficientes de mesmos expoentes e reduzimos módulo p.
Para multiplicar polinômios usamos a distribuição: multiplicamos cada termo de f por cada termo de g, obtemos termos com potências x^{i+j}, somamos coeficientes de mesma potência e reduzimos módulo p.
Vamos aplicar isso primeiro em \mathbb{Z}_{5}.
Passo 3
Soma em \mathbb{Z}_{5}.
Escrevo os coeficientes (já como restos mod 5): f= \overline{2}x^{3}+\overline{4}x^{2}+\overline{3}x+\overline{3} e g=\overline{3}x^{4}+\overline{2}x+\overline{4}.
Somando termo a termo (lembrando que toda operação é módulo 5):
coeficiente de x^{4}: \overline{0}+\overline{3}=\overline{3}.
coeficiente de x^{3}: \overline{2}+\overline{0}=\overline{2}.
coeficiente de x^{2}: \overline{4}+\overline{0}=\overline{4}.
coeficiente de x: \overline{3}+\overline{2}=\overline{5}=\overline{0} em \mathbb{Z}_{5}.
termo constante: \overline{3}+\overline{4}=\overline{7}=\overline{2} em \mathbb{Z}_{5}.
Agora repetimos o processo em \mathbb{Z}_{7}. As regras são as mesmas, mas a redução é módulo 7.
Passo 6
Soma em \mathbb{Z}_{7}.
Usando f=\overline{2}x^{3}+\overline{4}x^{2}+\overline{3}x+\overline{3} e g=\overline{3}x^{4}+\overline{2}x+\overline{4} (os coeficientes originais já estão entre 0 e 6):
coeficiente de x^{4}: \overline{3}.
coeficiente de x^{3}: \overline{2}.
coeficiente de x^{2}: \overline{4}.
coeficiente de x: \overline{3}+\overline{2}=\overline{5} em \mathbb{Z}_{7}.
termo constante: \overline{3}+\overline{4}=\overline{7}=\overline{0} em \mathbb{Z}_{7}.
Em \mathbb{Z}_{5}: f+g=\overline{3}x^{4}+\overline{2}x^{3}+\overline{4}x^{2}+\overline{2}.
Em \mathbb{Z}_{5}: f\cdot g=\overline{1}x^{7}+\overline{2}x^{6}+\overline{4}x^{5}+\overline{3}x^{4}+\overline{1}x^{3}+\overline{2}x^{2}+\overline{3}x+\overline{2}.
Em \mathbb{Z}_{7}: f+g=\overline{3}x^{4}+\overline{2}x^{3}+\overline{4}x^{2}+\overline{5}x.
Em \mathbb{Z}_{7}: f\cdot g=\overline{6}x^{7}+\overline{5}x^{6}+\overline{2}x^{5}+\overline{6}x^{4}+\overline{2}x^{3}+\overline{1}x^{2}+\overline{4}x+\overline{5}.