Questão 4. Prove que se K é um corpo algebricamente fechado, então todo polinômio f(x) \in K[x] com \partial f \geqslant 1 pode ser fatorado da seguinte forma
f(x)=c \cdot\left(x-\alpha_{1}\right) \cdot\left(x-\alpha_{2}\right) \cdot \ldots \cdot\left(x-\alpha_{n}\right)

Passo 1

O enunciado diz: seja \,K um corpo algebricamente fechado e seja f(x)\in K[x] um polinômio com \partial f\geqslant 1. A tarefa é provar que existe uma constante c\in K, c\neq 0, e elementos \alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\in K tais que
f(x)=c\cdot\left(x-\alpha_{1}\right)\left(x-\alpha_{2}\right)\cdots\left(x-\alpha_{n}\right).
Observações e informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Interpreto \partial f como o grau de f; isto é, \deg f=\partial f.
  • O corpo K é algebricamente fechado, portanto toda aplicação desta propriedade pode ser usada (veremos abaixo exatamente o que significa).
  • O objetivo é mostrar que f se decompõe em fatores lineares em K[x], multiplicados por uma constante em K.
    Não vamos resolver aqui; só listei o que é dado e o que se pede.

Passo 2

Explicar o conceito central: o que significa K ser algebricamente fechado e uma ferramenta que vamos usar (Teorema do Resto / Teorema do Fator).
  • Definição: dizer que o corpo \,K é algebricamente fechado significa que todo polinômio não-constante em K[x] tem pelo menos uma raiz em K. Em fórmulas: se g(x)\in K[x] e \deg g\ge 1, então existe \beta\in K tal que g(\beta)=0.
  • Ferramenta prática (Teorema do Fator via algoritmo da divisão): se f(x)\in K[x] e \alpha\in K satisfaz f(\alpha)=0, então (x-\alpha) divide f(x) em K[x]. Vou provar essa afirmação rápida porque é crucial e não pressupõe nada escondido:
    • Pelo algoritmo da divisão em K[x], ao dividir f(x) por x-\alpha obtemos f(x) = (x-\alpha)\,q(x) + ronde q(x)\in K[x] e r\in K é um escalar (pois \deg r<\deg(x-\alpha)=1, logo r é constante).
    • Avaliando em x=\alpha temos f(\alpha)=(\alpha-\alpha)q(\alpha)+r = r. Se f(\alpha)=0 então r=0. Logo f(x)=(x-\alpha)q(x).
    • Conclusão: se \alpha é raiz, então x-\alpha é fator em K[x].
      Isto é o que chamamos de Teorema do Fator; guarde bem, é a peça que libera a fatoração em fatores lineares.

Passo 3

Estratégia de prova: vamos usar indução sobre n=\deg f.
  • Por que indução? Porque cada vez que encontramos uma raiz \alpha em K podemos dividir f por (x-\alpha) e reduzir o problema para um polinômio de grau menor. Isso encaixa perfeitamente em um argumento indutivo.
    Agora configuramos a base e o passo indutivo.

Passo 4

Base da indução ( \deg f=1).
  • Se \deg f=1, então f(x) tem a forma f(x)=ax+bcom a,b\in K e a\neq 0. A raiz é \alpha=-a^{-1}b\in K e podemos escrever f(x)=a\,(x-\alpha).Isto já é da forma desejada com c=a e um único fator linear (x-\alpha). A base está provada.

Passo 5

Passo indutivo: hipótese e objetivo.
  • Hipótese de indução: suponha que todo polinômio em K[x] de grau menor que n pode ser escrito como um escalar em K multiplicando um produto de n-1 (ou menos) fatores lineares em K[x].
  • Objetivo: provar que todo polinômio f(x)\in K[x] com \deg f=n também se escreve como um escalar em K vezes um produto de n fatores lineares.

Passo 6

Aplicar que K é algebricamente fechado e usar o Teorema do Fator.
  • Como \deg f=n\ge 1 e K é algebricamente fechado, existe \alpha_{1}\in K tal que f(\alpha_{1})=0.
  • Pelo Teorema do Fator (Passo 2) temos divisão exata: f(x)=(x-\alpha_{1})\,g_{1}(x)com g_{1}(x)\in K[x] e \deg g_{1}=n-1. Note que os coeficientes de g_{1} ficam em K porque o algoritmo da divisão em K[x] produz quociente e resto em K[x].

Passo 7

Aplicar a hipótese indutiva ao polinômio g_{1}.
  • Pela hipótese de indução, como \deg g_{1}=n-1, existe c'\in K, c'\neq 0, e raízes \alpha_{2},\dots,\alpha_{n}\in K tais que g_{1}(x)=c'\cdot\left(x-\alpha_{2}\right)\cdots\left(x-\alpha_{n}\right).
  • Substituindo em f(x)=(x-\alpha_{1})g_{1}(x), obtemos f(x)=c'\cdot (x-\alpha_{1})\left(x-\alpha_{2}\right)\cdots\left(x-\alpha_{n}\right).
  • Colocando c:=c' (ou, se preferir, observando que c' coincide com o coeficiente líder de f), chegamos à forma desejada com n fatores lineares.

Passo 8

Comentários finais para consolidar entendimento (didático e prático).
  • Assim provamos por indução que todo polinômio não-constante f\in K[x] se decompõe em fatores lineares em K[x], quando K é algebricamente fechado.
  • Observações úteis na hora da prova:
    • A etapa crucial é garantir a existência de pelo menos uma raiz em K; isso é exatamente a definição de corpo algebricamente fechado.
    • O Teorema do Fator (proveniente do algoritmo da divisão) transforma a existência de uma raiz em um fator linear.
    • Repetindo a extração de raízes (possivelmente com multiplicidades) reduzimos o grau até chegar ao caso linear.
    • A constante c final é o coeficiente líder de f, portanto c\neq 0.
  • Exemplo simples para fixar: em \mathbb{C} (que é algebricamente fechado), x^{3}-1=(x-1)(x-\omega)(x-\omega^{2}) onde \omega e \omega^{2} são as outras raízes complexas; aqui cada passo é exatamente achar uma raiz e dividir.

Resposta

f(x)=c\cdot\left(x-\alpha_{1}\right)\left(x-\alpha_{2}\right)\cdots\left(x-\alpha_{n}\right)

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