Questão 4. Prove que se
é um corpo algebricamente fechado, então todo polinômio
com
pode ser fatorado da seguinte forma
Passo 1
O enunciado diz: seja
um corpo algebricamente fechado e seja
um polinômio com
. A tarefa é provar que existe uma constante
,
, e elementos
tais que
Observações e informações relevantes extraídas do enunciado:
- Interpreto
como o grau de ; isto é, . - O corpo
é algebricamente fechado, portanto toda aplicação desta propriedade pode ser usada (veremos abaixo exatamente o que significa). - O objetivo é mostrar que
se decompõe em fatores lineares em , multiplicados por uma constante em .
Não vamos resolver aqui; só listei o que é dado e o que se pede.
Passo 2
Explicar o conceito central: o que significa
ser algebricamente fechado e uma ferramenta que vamos usar (Teorema do Resto / Teorema do Fator).
- Definição: dizer que o corpo
é algebricamente fechado significa que todo polinômio não-constante em tem pelo menos uma raiz em . Em fórmulas: se e , então existe tal que . - Ferramenta prática (Teorema do Fator via algoritmo da divisão): se
e satisfaz , então divide em . Vou provar essa afirmação rápida porque é crucial e não pressupõe nada escondido: - Pelo algoritmo da divisão em
, ao dividir por obtemos onde e é um escalar (pois , logo é constante). - Avaliando em
temos . Se então . Logo - Conclusão: se
é raiz, então é fator em .
Isto é o que chamamos de Teorema do Fator; guarde bem, é a peça que libera a fatoração em fatores lineares.
- Pelo algoritmo da divisão em
Passo 3
Estratégia de prova: vamos usar indução sobre
.
- Por que indução? Porque cada vez que encontramos uma raiz
em podemos dividir por e reduzir o problema para um polinômio de grau menor. Isso encaixa perfeitamente em um argumento indutivo.
Agora configuramos a base e o passo indutivo.
Passo 4
Base da indução (
).
- Se
, então tem a forma com e . A raiz é e podemos escrever Isto já é da forma desejada com e um único fator linear . A base está provada.
Passo 5
Passo indutivo: hipótese e objetivo.
- Hipótese de indução: suponha que todo polinômio em
de grau menor que pode ser escrito como um escalar em multiplicando um produto de (ou menos) fatores lineares em . - Objetivo: provar que todo polinômio
com também se escreve como um escalar em vezes um produto de fatores lineares.
Passo 6
Aplicar que
é algebricamente fechado e usar o Teorema do Fator.
- Como
e é algebricamente fechado, existe tal que . - Pelo Teorema do Fator (Passo 2) temos divisão exata:
com e . Note que os coeficientes de ficam em porque o algoritmo da divisão em produz quociente e resto em .
Passo 7
Aplicar a hipótese indutiva ao polinômio
.
- Pela hipótese de indução, como
, existe , , e raízes tais que - Substituindo em
, obtemos - Colocando
(ou, se preferir, observando que coincide com o coeficiente líder de ), chegamos à forma desejada com fatores lineares.
Passo 8
Comentários finais para consolidar entendimento (didático e prático).
- Assim provamos por indução que todo polinômio não-constante
se decompõe em fatores lineares em , quando é algebricamente fechado. - Observações úteis na hora da prova:
- A etapa crucial é garantir a existência de pelo menos uma raiz em
; isso é exatamente a definição de corpo algebricamente fechado. - O Teorema do Fator (proveniente do algoritmo da divisão) transforma a existência de uma raiz em um fator linear.
- Repetindo a extração de raízes (possivelmente com multiplicidades) reduzimos o grau até chegar ao caso linear.
- A constante
final é o coeficiente líder de , portanto .
- A etapa crucial é garantir a existência de pelo menos uma raiz em
- Exemplo simples para fixar: em
(que é algebricamente fechado), onde e são as outras raízes complexas; aqui cada passo é exatamente achar uma raiz e dividir.