Questão 2. Seja K um corpo. Dizemos que K é um corpo algebricamente fechado quando para todo f(x) \in K[x] existe um \alpha \in K tal que f(\alpha)=0. Por exemplo \mathbb{C} corpo dos complexos á um algebricamente fechado. Prove que \mathbb{R} não é algebricamente fechado.

Passo 1

O enunciado pede para provar que \mathbb{R} não é algebricamente fechado.
Informações dadas:
  • Definição: um corpo K é algebricamente fechado quando, para todo polinômio f(x)\in K[x], existe \alpha\in K tal que f(\alpha)=0.
  • Exemplo citado: \mathbb{C} é algebricamente fechado.
    Objetivo claro: encontrar (ou mostrar a existência de) um polinômio em \mathbb{R}[x] que não tem raiz em \mathbb{R}, e com isso concluir que \mathbb{R} não satisfaz a definição.

Passo 2

Estratégia elementar e justificativa simples (sem resolver ainda): para provar que um corpo K não é algebricamente fechado basta dar um contraexemplo, isto é, apresentar um polinômio em K[x] que não tem nenhuma raiz em K. Portanto aqui vou procurar um polinômio em \mathbb{R}[x] cujo valor nunca seja zero quando x varia em \mathbb{R}.

Passo 3

Escolho o polinômio quadrático simples
f(x)=x^2+1.
Esse polinômio pertence a \mathbb{R}[x] porque seus coeficientes 1 e 1 são reais.

Passo 4

Mostro que f(x) não pode ser zero para nenhum x\in\mathbb{R}. Primeiro recorde (ou aprenda) um fato básico sobre números reais: o quadrado de qualquer número real é não negativo. Em símbolos, para todo x\in\mathbb{R} vale
x^2\ge 0.
Justificativa curta e elementar: se x\ge 0 então x^2\ge0 porque produto de não negativos é não negativo; se x<0 então -x>0 e x^2 = (-x)^2\ge 0. Outra forma: x^2=|x|^2\ge0.

Passo 5

A partir de x^2\ge0 obtemos
x^2+1 \ge 0+1 = 1.
Logo, para todo x\in\mathbb{R} temos f(x)=x^2+1\ge 1. Em particular, f(x)>0 para todo x\in\mathbb{R}. Portanto não existe \alpha\in\mathbb{R} tal que f(\alpha)=0.

Passo 6

Como encontramos um polinômio f(x)=x^2+1 em \mathbb{R}[x] que não tem raiz em \mathbb{R}, concluímos que nem todo polinômio em \mathbb{R}[x] possui raiz em \mathbb{R}. Assim \mathbb{R} não é algebricamente fechado.

Passo 7

Comentário pedagógico e alternativa rápida (útil na prova): outra forma equivalente e igualmente curta é usar o discriminante da equação quadrática. Para x^2+1=0 o discriminante é \Delta = 0^2-4\cdot1\cdot1 = -4<0, o que mostra que a equação não tem raízes reais. Ambas as abordagens são aceitáveis em prova; a primeira (positividade de x^2+1) é a mais direta e elementar.

Resposta

A função f(x)=x^2+1 não tem raiz em \mathbb{R}. Portanto \mathbb{R} não é algebricamente fechado.

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