Questão 2. Seja
um corpo. Dizemos que
é um corpo algebricamente fechado quando para todo
existe um
tal que
. Por exemplo
corpo dos complexos á um algebricamente fechado. Prove que
não é algebricamente fechado.
Passo 1
O enunciado pede para provar que
não é algebricamente fechado.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Definição: um corpo
é algebricamente fechado quando, para todo polinômio , existe tal que . - Exemplo citado:
é algebricamente fechado.
Objetivo claro: encontrar (ou mostrar a existência de) um polinômio emque não tem raiz em , e com isso concluir que não satisfaz a definição.
Passo 2
Estratégia elementar e justificativa simples (sem resolver ainda): para provar que um corpo
não é algebricamente fechado basta dar um contraexemplo, isto é, apresentar um polinômio em
que não tem nenhuma raiz em
. Portanto aqui vou procurar um polinômio em
cujo valor nunca seja zero quando
varia em
.
Passo 3
Escolho o polinômio quadrático simples
Esse polinômio pertence a
porque seus coeficientes
e
são reais.
Passo 4
Mostro que
não pode ser zero para nenhum
. Primeiro recorde (ou aprenda) um fato básico sobre números reais: o quadrado de qualquer número real é não negativo. Em símbolos, para todo
vale
Justificativa curta e elementar: se
então
porque produto de não negativos é não negativo; se
então
e
. Outra forma:
.
Passo 5
A partir de
obtemos
Logo, para todo
temos
. Em particular,
para todo
. Portanto não existe
tal que
.
Passo 6
Como encontramos um polinômio
em
que não tem raiz em
, concluímos que nem todo polinômio em
possui raiz em
. Assim
não é algebricamente fechado.
Passo 7
Comentário pedagógico e alternativa rápida (útil na prova): outra forma equivalente e igualmente curta é usar o discriminante da equação quadrática. Para
o discriminante é
, o que mostra que a equação não tem raízes reais. Ambas as abordagens são aceitáveis em prova; a primeira (positividade de
) é a mais direta e elementar.
Resposta
A função
não tem raiz em
. Portanto
não é algebricamente fechado.