Use séries para resolver as equações diferenciais ordinárias abaixo em torno do ponto indicado:
y^{\prime \prime}-9 y=0 x_{0}=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
y'' - 9y = 0
em torno de x_{0}=0 usando séries de potências. O ponto x=0 é um ponto ordinário, então podemos assumir uma solução na forma de série
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\,x^{n}.

Passo 2

Vamos escrever y'' como série. Derivando termo a termo,
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n} \quad\Longrightarrow\quad y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)\,a_{n}\,x^{n-2}.
Reindexando com n\mapsto n+2, obtemos
y''(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)\,a_{n+2}\,x^{n}.

Passo 3

Substituindo as séries de y e y'' na ODE, fica
\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)\,a_{n+2}\,x^{n} \;-\;9\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\,x^{n} \;=\;0.
Como isso vale para todo x, cada coeficiente de x^{n} deve anular, levando à recorrência
(n+2)(n+1)\,a_{n+2}-9\,a_{n}=0 \quad\Longrightarrow\quad a_{n+2} =\frac{9}{(n+2)(n+1)}\,a_{n}.

Passo 4

A recorrência liga a_{n+2} a a_{n}, então as duas constantes iniciais são a_{0} e a_{1}. Vamos separar em índices pares e ímpares:
Para n=2k (termos pares):
a_{2k+2} =\frac{9}{(2k+2)(2k+1)}\,a_{2k},
que iterado dá
a_{2k} =\frac{9^{\,k}}{(2k)!}\,a_{0}.
Para n=2k+1 (termos ímpares):
a_{2k+3} =\frac{9}{(2k+3)(2k+2)}\,a_{2k+1},
que iterado dá
a_{2k+1} =\frac{9^{\,k}}{(2k+1)!}\,a_{1}.

Passo 5

Agora escrevemos as duas séries independentes:
A parte par
y_{1}(x) =\sum_{k=0}^{\infty}a_{2k}\,x^{2k} =\;a_{0}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{9^{\,k}}{(2k)!}\,x^{2k},
e a parte ímpar
y_{2}(x) =\sum_{k=0}^{\infty}a_{2k+1}\,x^{2k+1} =\;a_{1}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{9^{\,k}}{(2k+1)!}\,x^{2k+1}.
Elas são linearmente independentes e formam a base da solução geral.

Passo 6

A solução geral é combinação linear de y_{1} e y_{2}:
y(x) =C_{1}\,\sum_{k=0}^{\infty}\frac{9^{\,k}}{(2k)!}\,x^{2k} \;+\; C_{2}\,\sum_{k=0}^{\infty}\frac{9^{\,k}}{(2k+1)!}\,x^{2k+1},
onde C_{1}=a_{0} e C_{2}=a_{1} são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

y(x) =C_{1}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{9^{k}}{(2k)!}\,x^{2k} \;+\; C_{2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{9^{k}}{(2k+1)!}\,x^{2k+1}.

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