Use séries para resolver as equações diferenciais ordinárias abaixo em torno do ponto indicado:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
em torno de
usando séries de potências. O ponto
é um ponto ordinário, então podemos assumir uma solução na forma de série
Passo 2
Vamos escrever
como série. Derivando termo a termo,
Reindexando com
, obtemos
Passo 3
Substituindo as séries de
e
na ODE, fica
Como isso vale para todo
, cada coeficiente de
deve anular, levando à recorrência
Passo 4
A recorrência liga
a
, então as duas constantes iniciais são
e
. Vamos separar em índices pares e ímpares:
Para
(termos pares):
que iterado dá
Para
(termos ímpares):
que iterado dá
Passo 5
Agora escrevemos as duas séries independentes:
A parte par
e a parte ímpar
Elas são linearmente independentes e formam a base da solução geral.
Passo 6
A solução geral é combinação linear de
e
:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.