Encontre a solução dos sistemas de equações:
X^{\prime}=\left(\begin{array}{ll}-2 & 1 \\\ 1 & -2\end{array}\right) X

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear de EDOs com coeficientes constantes
X' = A\,X,
onde
A = \begin{pmatrix}-2 & 1 \\[6pt]1 & -2\end{pmatrix},
e X(t) = \bigl(x(t),y(t)\bigr)^T. O método consiste em achar os autovalores e autovetores de A e escrever a solução como combinação linear de modos e^{\lambda t}v.]

Passo 2

Para encontrar os autovalores \lambda, montamos o polinômio característico
\det\bigl(A - \lambda I\bigr) = \det\!\begin{pmatrix}-2-\lambda & 1 \\[4pt]1 & -2-\lambda\end{pmatrix} =(-2-\lambda)^2 - 1.
Igualando a zero, temos
(-2-\lambda)^2 - 1 = 0.]

Passo 3

Expandindo e resolvendo
(-2-\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 + 4\lambda + 4 - 1 = \lambda^2 + 4\lambda + 3 = 0
as raízes são
\lambda_1 = -1, \qquad \lambda_2 = -3.

Passo 4

Agora achamos um autovetor para cada \lambda.
Para \lambda_1 = -1, resolvemos
(A + I)v = \begin{pmatrix}-1 & 1 \\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}v = 0,
que leva ao autovetor v_1 = (1,1)^T.
Para \lambda_2 = -3, resolvemos
(A + 3I)v = \begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}v = 0,
que leva ao autovetor v_2 = (1,-1)^T.]

Passo 5

A solução geral é combinação linear das soluções elementares e^{\lambda t}v. Assim
X(t) = C_1\,e^{-1\,t} \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} + C_2\,e^{-3\,t} \begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitárias determinadas pelas condições iniciais.]

Resposta

X(t) = C_1\,e^{-t} \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} + C_2\,e^{-3t} \begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]

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