Questão 2. Calcule.
\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{3}{2^{n}}+\frac{4}{5^{n}};

Passo 1

O enunciado pede para calcular a série infinita
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{3}{2^{n}}+\frac{4}{5^{n}}.
O conteúdo aqui é soma de séries geométricas. Vamos usar a fórmula da soma de uma série geométrica
\sum_{n=0}^{\infty}ar^{n}=\frac{a}{1-r},\quad\text{para }|r|<1.

Passo 2

Reescrevemos a série como a soma de duas séries geométricas separadas:
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{3}{2^{n}}+\frac{4}{5^{n}} = \sum_{n=0}^{\infty}3\bigl(\tfrac12\bigr)^{n} + \sum_{n=0}^{\infty}4\bigl(\tfrac15\bigr)^{n}.

Passo 3

Para a primeira série, temos a=3 e r=\tfrac12. Logo,
\sum_{n=0}^{\infty}3\bigl(\tfrac12\bigr)^{n} = \frac{3}{1-\tfrac12} = \frac{3}{\tfrac12} =6.

Passo 4

Para a segunda série, temos a=4 e r=\tfrac15. Logo,
\sum_{n=0}^{\infty}4\bigl(\tfrac15\bigr)^{n} = \frac{4}{1-\tfrac15} = \frac{4}{\tfrac45} =5.

Passo 5

Somando os dois resultados, a série total vale
6 + 5 = 11.

Resposta

11

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