Questão 2. Calcule.
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{3}{5}\right)^{n};

Passo 1

Olha só o exercício: ele pede para calcular \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\biggl(\frac{3}{5}\biggr)^{n}.
Isso é uma série geométrica infinita e vamos usar a fórmula padrão para somar séries geométricas convergentes.

Passo 2

Aqui a gente identifica o primeiro termo e a razão. O primeiro termo é
a = \biggl(\frac{3}{5}\biggr)^{1} = \frac{3}{5}
e a razão é
r = \frac{3}{5}.
Como \lvert r\rvert = \tfrac{3}{5} < 1, a série convergente.

Passo 3

A fórmula para a soma S de uma série geométrica infinita convergente é
S = \frac{a}{1 - r}.

Passo 4

Agora é só substituir a = \tfrac{3}{5} e r = \tfrac{3}{5}:
S = \frac{\tfrac{3}{5}}{1 - \tfrac{3}{5}} = \frac{\tfrac{3}{5}}{\tfrac{2}{5}} = \frac{3}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{2}

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