Explique porque as sequintes séries são divergentes:
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2}{n};

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2}{n}
é divergente. O conteúdo utilizado será teoria de séries numéricas: teste da p-série (ou teste da série harmônica) e teste da integral para séries.

Passo 2

Observamos que
\frac{2}{n} = 2\cdot\frac{1}{n},
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\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2}{n} = 2 \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}.
Sabemos pelo teste da p-série que
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^p}
converge somente se p>1. Aqui temos p=1, ou seja, a série harmônica \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}
é divergente. Como multiplicar uma série divergente por constante 2 mantém a divergência, concluímos que \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2}{n}
é divergente.

Passo 3

Como alternativa, aplicamos o teste da integral. Seja f(x)=2/x, função positiva e decrescente para x\ge1. Então comparamos
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2}{n} \quad\text{com}\quad \int_{1}^{\infty}\frac{2}{x}\,dx.
Calculando a integral impropria:
\int_{1}^{\infty}\frac{2}{x}\,dx =2\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\,dx =2\Bigl[\ln x\Bigr]_{1}^{\infty} =2\bigl(\lim_{t\to\infty}\ln t - 0\bigr) =+\infty.
Como a integral diverge, a série também diverge pelo teste da integral.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2}{n} é divergente.

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