Questão 2. Calcule.
\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{4^{n+1}}{5^{n}};

Passo 1

O enunciado pede para calcular a série infinita
\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{4^{n+1}}{5^{n}}.
Este é um caso de série geométrica infinita, em que identificamos o termo geral e a razão para usar a fórmula
\sum_{n=0}^{+\infty} ar^n = \frac{a}{1-r},\quad\text{se }|r|<1.

Passo 2

Vamos reescrever o termo geral isolando um fator constante:
\frac{4^{n+1}}{5^n} =4\cdot\frac{4^n}{5^n} =4\bigl(\tfrac{4}{5}\bigr)^n.
Logo a série fica
\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{4^{n+1}}{5^n} =4\sum_{n=0}^{+\infty}\bigl(\tfrac{4}{5}\bigr)^n.

Passo 3

Aqui temos a=4 (o fator constante) e r=\tfrac{4}{5}. Como |r|=\tfrac{4}{5}<1, a série converge e vale
4\sum_{n=0}^{+\infty}\bigl(\tfrac{4}{5}\bigr)^n =4\cdot\frac{1}{1-\tfrac{4}{5}}.

Passo 4

Calculando o denominador:
1-\tfrac{4}{5}=\tfrac{1}{5},
portanto
4\cdot\frac{1}{\tfrac{1}{5}} =4\cdot 5 =20.

Resposta

20

Exercícios relacionados